Differenzialgleichung mit Randwerten

Aufrufe: 84     Aktiv: 27.05.2021 um 13:52

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Moin, 

Meine Aufgabe \(y"=f(y)\)  \(y"=-y^{-3}\) mit \(y´(2)=\frac {1} {2},y(2)=2\)

Ich habe leider im Skript bei mir nur Aufgaben und keine Erklärungen deswegen ist alles ab jetzt selbst nachgeschaut :D.

Ich muss duch die Gleichung \(y"=-y^{-3}\) Integrieren also als y"=u´ damit ich \(u´=-y^{-3}\) habe, dies dann Integrieren.

\(u=\frac {1} {2y^{2}+c_{1} }\) dann wieder in y umschreiben, \(y´=\frac {1} {2y^{2}+c_{1} }\) und wieder Integrieren.

\(y=-\frac {1} {y^{2}}+xc_{1}+c_{2} \).

Ab hier habe ich viel probiert und nicht passte.



Meine Lösung soll \(\sqrt{2x} \) sein.
gefragt

Student, Punkte: 14

 

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1 Antwort
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Ein Lösungsansatz:
mit \(y'\) multiplizieren:
\[y'y''=-\frac{y'}{y^3}\]
integrieren:
\[\frac12(y')^2=\frac{1}{2y^2}+c_1\]
Nun kann man die Randwerte einsetzen:
\[\frac12(\frac12)^2=\frac{1}{2\cdot2^2}+c_1\] also \(c_1=0\)
und wir müssen nur noch lösen
\[\frac12(y')^2=\frac{1}{2y^2}\]
nach \(y'\) auflösen:
\[y'=\pm\sqrt{\frac{1}{y^2}}\]
auf die linke Seite:
\[\frac{y'}{\sqrt{\frac{1}{y^2}}}=\pm1\]
vereinfacht
\[yy'=\pm1\]
integriert
\[\frac{y^2}{2}=\pm x+\tilde{c_2}\]
nach \(y\) aufgelöst
\[y=\sqrt{\pm 2x+c_2}\]
mit den beiden Randbedingungen erhält man die Lösungsfunktion.

Viele Grüße
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Student, Punkte: 4.39K
 

Ich Versteh das echt nicht... wofür ist dann das y(2)=2 und y´(2)=1/2 wenn man es nicht benutzen muss, wieso kann ich einfach y´ einsetzen und nicht y?

Und gekürzt kommt bei der Lösung \( y=\sqrt{x^2} \) raus?

Entschuldige die ganzen fragen aber ich finde auch Online leider kaum etwas was hilft oder es erklärt...
  ─   f.see 26.05.2021 um 11:55

Theoretisch brauchst du die zwei Bedingungen, um den Wert von \(c_1\) und \(c_2\) zu bestimmen. Ich werd es mal nachrechnen.
  ─   holly 26.05.2021 um 12:34

Also ich dachte ja das man y´ und y herausfinden muss und dann bei y´ einsetzen um c1 zu bekommen und dann mit c1 und der 2. Bedingung c2 herauszufinden. dann bei y c1 und c2 einsetzen um auf x zu kommen nur entweder bin ich zu doof zum rechnen oder der Ansatz ist Falsch. xD   ─   f.see 26.05.2021 um 13:12

Ja genau, y' kann man ja theoretisch aus der Ableitung einfach bestimmen, aber ich habe dasselbe Problem wie du. Ich such mal nach dem Fehler.   ─   holly 26.05.2021 um 14:54

hab die vollständige Lösung oben hingeschrieben, der Ansatz war nicht falsch :D   ─   holly 26.05.2021 um 15:13

alles klar danke jetzt komme ich soweit mit, gibt es aber irgend eine Regel warum ich y´ einsetze und nicht y, ich hatte nämlich gedacht man setzt y ein wegen f(y), also wenn ich eine Aufgabe habe wie zb.
\( y"=f(y´)\)
\(y"=2\sqrt{y´} \) mit \(y´(1)=4 , y(1)=1\)
setze ich dann y ein um beide Randwerte eintragen zu können ?
  ─   f.see 27.05.2021 um 09:25

Das habe ich doch alles schon vorgestern in einer Antwort erklärt!!!   ─   professorrs 27.05.2021 um 13:52

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