Um deine Frage aus dem anderen Portal zu beantworten (evtl. kann ein Mod sie hierher kopieren!?): 

1.) Letztendlich spielt es keine Rolle, wie man die Variable im Induktionsschritt nennt, in dem einen Beispiel wird eben mit $n$ gerechnet, in dem anderen dann mit $k$. Mathematisch betrachtet ist es aber in beiden Fällen dasselbe. 

2.) Ich weiß nicht genau, was du nun mit Gedankenpausen meinst. Also verstehe ich die Frage nicht richtig. Letztendlich ist jedes Gleichheitszeichen ja ein Schritt. Wenn es darum geht, die Schritte nachzuvollziehen, dann sollte man das natürlich auch Schritt für Schritt versuchen. Es ist jedoch auch immer möglich zusätzlichen Zwischenschritte einzufügen oder eben wegzulassen. Das hängt dann ein bisschen davon ab, wie fit man in Mathe ist. Offensichtliche und einfache Schritte werden dann auch gerne mal weggelassen. 

Allgemein besteht ein Induktionsbeweis immer aus den 3 Schritten Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung/-behauptung und Induktionsschritt/-schluss. Zudem ist es schwierig, das Heft mit dem Video zu vergleichen, da man beim Video natürlich noch die Kommentare hat. Das Heft ist also mathematisch betrachtet etwas ausführlicher und ordentlicher aufgeschrieben als der Beweis im Video. 

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. Wenn du noch Fragen hast, melde dich einfach.