aRb bedeuted

Du hast eine Menge z.B. A = {1,2,3,4,5} und B = {6,7,8,9,10}

jetzt definierst du dass a Aus A und b aus B ist

Die Relation kann jetzt aber individuell gewählt werden (willkürlich), wäre dann aber keine Funktion, wenn es nicht für alle x ein y gibt => kann aber in einer Relation sein, bzw. ein kartesisches Produkt d.h. alles steht mit allem in Relation aRb = {(1,6)(1,7).....(5,10)}

oder du sagst ok ich möchte eine Relation der beiden Mengen unter der Bedingung, dass nur gerade Zahlen in die Relation aufgenommen werden, z.B. dann aRb (eigenschaft: gerade) = {(2,6)(2,8)...(4,10)}

Dann gibt es verschiedene Möglichkeiten

• Äquivalenzrelationen (alle Mengen einer Klasse) z.B. mod 3 (welche Möglichen Reste gibt es, wenn man durch 3 dividert? 1,2,0 d.h. 1 ist in einer Restklasse mit (1 + 3x) 2 mit (2 + 3x) und 0 Rest mit (0 + 3x) dementsprechend sind alle Klassen zusammen die gesamte Mengen der ganzen Zahlen, aber innerhalb der jeweiligen Restklassen besteht eine Äquivalenzrelation
  • aRa (a ist mit a in einer Klasse)
  • aRb => bRa (wenn a mit b in einer Klasse ist z.B. 0 und 3, dann ist auch 3 und 0 in einer Klasse)
  • aRb und bRc (dann folgt dass a und b und c in einer Klasse sind, und daher auch a mit c )
• Totalordnung
  • Bsp.: Halbordnung auf der Menge der natürlichen Zahlen (mit der Eigenschaft <=)
    • z.B. nimmst du dann ein a aus A =(A = N) => und a ist 5 => aRa (5 <= 5)
    • aRb bRa (geht nur auf einem Weg nämlich dadurch, dass a und B gleich sind, es geht nämlich nicht zu sagen 5 <= 6 und 6<= 5)
    • transitiv (wenn 5 <= 15 und 15 <= 25 dann ist 5 <= 25) (aRb bRa => aRc)
• Eine Halbordnung ist eine Ordnung, bei dem es egal, welche Zahlen du nimmst es immer gilt, ein Gegenbeispiel wäre eine Teilbarkeitsrelation, Menge = N (dann nimmst du bspw. einfach willkürlich 3 und 5 aus N ) und sagst 3|5 => spätestens beim transitiven stellt sich dann aber heraus, dass 3|5 nicht abgeschlossen ist, d.h. die Operation mit diesen beiden Zahlen, wiederrum in N liegt