Mittelwertsatz

Aufrufe: 642     Aktiv: 22.02.2021 um 21:43
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Hallo,
Ich hab eine Frage zum Beweis des Mittelwertsatzes.
Also der Beweis wird als Folgerung vom Satz von Rolle gezeigt (der ist mir klar). Im Beweis wird dann eine Funktion \(\Phi \) definiert. Nämlich \(\Phi \)(x) = f(x) - \(\frac {f(b)-f(a)} {b-a}\)(x-a).
Dann gilt \(\Phi \)(a) = f(a) = \(\Phi \)(b), sodass man den Satz von Rolle anwenden kann.
Die einzelnen Schritte sind mir klar, aber mir ist nicht klar warum man sich eine Funktion \(\Phi \) definieren darf. Weil ich möchte den Mittelwertsatz ja für jede beliebige Funktion (die differenzierbar ist) zeigen. Also muss sich jede beliebige Funktion durch \(\Phi \) darstellen lassen? Also warum gilt es für jede Funktion, wenn es für \(\Phi \) gilt?
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1 Antwort
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Deine Funktion \(f\) kommt doch in \(\Phi\) vor, so dass es für jede differenzierbare Funktion \(f\) gilt. Man definiert \(\Phi\) nur als Hilfsmittel, um darauf den Satz von Rolle anzuwenden und entsprechend die Eigenschaft für die Funktion \(f\) zu schlussfolgern.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
schon, aber ich hab ja nicht \(\Phi\)(x) = f(x) sondern \(\Phi\)(x) = f(x) - \(\frac {f(b)-f(a)} {b-a}\)(x-a).
Auch wenn da f(x) zwar drin vorkommt habe ich ja trozdem noch den Bruch??

Edit: die negative Bewertung ist nicht von mir, ich bin froh und dankbar über jeden der hier sich die Zeit nimmt und auch dumme Fragen erklärt.
   ─   sorcing 21.02.2021 um 20:51
Du zeigst ja in dem Beweis nicht, dass der Mittelwertsatz für \(\Phi\) stimmt, sondern benutzt \(\Phi\), um zu zeigen, dass der Mittelwertsatz für \(f\) richtig ist.   ─   stal 21.02.2021 um 20:55
Der Beweis geht dann so weiter, dass es wegen \(\Phi\)(a) = \(\Phi\)(b) eine Zwischenstelle z \(\in\) (a,b) gibt mit \(\Phi\)´(z) = 0 = f´(z) - \(\frac {f(b)-f(a)} {b-a}\), was die Aussage des Mittelwertsatzes ist.

Aber mich stört an dem Bruch das ich ja jede Funktion in der Gestalt von \(\Phi\) darstellen muss können. Warum nutze ich \(\Phi\) um es für f zu zeigen (und nicht für \(\Phi\))?
   ─   sorcing 21.02.2021 um 21:08
Ich kann doch auch nicht einfach zum Beispiel die Funktion t(x) = x^2 als t(x) = x^2+2x schreiben und sagen das ist das gleiche?

Ich kann doch nicht eine Funktion, die sich so nicht darstellen lässt, trotzdem so darstellen.
Irgendwie steht ich total auf dem Schlauch. Dein erster und zweiter Satz widerspricht sich doch?   ─   sorcing 21.02.2021 um 21:44
Ja mir ist/war irgendwie das Konzept einer Hilfsfunktion nicht klar. Aber mit der Erklärung hab ich es glaub verstanden. Natürlich kann für jedes f das \(\Phi\) so definieren, klar ich hab bei \(\Phi\) ja nichts anderes als f "enthalten". Und dann kann ich auf das \(\Phi\) den Satz von Rolle anwenden. Und daraus ergibt sich dann f´(z) = \(\frac {f(b)-f(a)} {b-a}\), und zwar für jedes f, da ich für jedes f das \(\Phi\) habe.
Danke für die Antworten :-)   ─   sorcing 22.02.2021 um 18:21

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.