Mittelwertsatz

Aufrufe: 91     Aktiv: 22.02.2021 um 21:43

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Hallo,
Ich hab eine Frage zum Beweis des Mittelwertsatzes.
Also der Beweis wird als Folgerung vom Satz von Rolle gezeigt (der ist mir klar). Im Beweis wird dann eine Funktion \(\Phi \) definiert. Nämlich \(\Phi \)(x) = f(x) - \(\frac {f(b)-f(a)} {b-a}\)(x-a).
Dann gilt \(\Phi \)(a) = f(a) = \(\Phi \)(b), sodass man den Satz von Rolle anwenden kann.
Die einzelnen Schritte sind mir klar, aber mir ist nicht klar warum man sich eine Funktion \(\Phi \) definieren darf. Weil ich möchte den Mittelwertsatz ja für jede beliebige Funktion (die differenzierbar ist) zeigen. Also muss sich jede beliebige Funktion durch \(\Phi \) darstellen lassen? Also warum gilt es für jede Funktion, wenn es für \(\Phi \) gilt?
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1 Antwort
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Deine Funktion \(f\) kommt doch in \(\Phi\) vor, so dass es für jede differenzierbare Funktion \(f\) gilt. Man definiert \(\Phi\) nur als Hilfsmittel, um darauf den Satz von Rolle anzuwenden und entsprechend die Eigenschaft für die Funktion \(f\) zu schlussfolgern.
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Selbstständig, Punkte: 6.9K
 

schon, aber ich hab ja nicht \(\Phi\)(x) = f(x) sondern \(\Phi\)(x) = f(x) - \(\frac {f(b)-f(a)} {b-a}\)(x-a).
Auch wenn da f(x) zwar drin vorkommt habe ich ja trozdem noch den Bruch??

Edit: die negative Bewertung ist nicht von mir, ich bin froh und dankbar über jeden der hier sich die Zeit nimmt und auch dumme Fragen erklärt.
  ─   sorcing 21.02.2021 um 20:51

Was stört dich denn an dem Bruch? Du nutzt \(\Phi\) ja nur, um für \(f\) die Eigenschaft zu zeigen. Wie geht denn der Beweis weiter, wenn man den Satz von Rolle auf \(\Phi\) anwendet?

Ach, die Downvotes werden glaube ich gerne von Leuten verteilt, die einen nicht leiden können oder aus Rache, weil man sie ebenso downgevotet hat. ^^ Daran habe ich mich mittlerweile gewöhnt.
  ─   cauchy 21.02.2021 um 20:54

Du zeigst ja in dem Beweis nicht, dass der Mittelwertsatz für \(\Phi\) stimmt, sondern benutzt \(\Phi\), um zu zeigen, dass der Mittelwertsatz für \(f\) richtig ist.   ─   stal 21.02.2021 um 20:55

Der Beweis geht dann so weiter, dass es wegen \(\Phi\)(a) = \(\Phi\)(b) eine Zwischenstelle z \(\in\) (a,b) gibt mit \(\Phi\)´(z) = 0 = f´(z) - \(\frac {f(b)-f(a)} {b-a}\), was die Aussage des Mittelwertsatzes ist.

Aber mich stört an dem Bruch das ich ja jede Funktion in der Gestalt von \(\Phi\) darstellen muss können. Warum nutze ich \(\Phi\) um es für f zu zeigen (und nicht für \(\Phi\))?
  ─   sorcing 21.02.2021 um 21:08

Die Funktion muss sich so nicht darstellen können. Du STELLST diese Funktion einfach so dar. Es gibt auch nichts, was dies verhindern sollte. Warum auch?

Ja und aus dieser Zwischenstelle folgt \(f'(z)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\), was zu zeigen war. Und zwar für jedes \(f\).
  ─   cauchy 21.02.2021 um 21:33

Ich kann doch auch nicht einfach zum Beispiel die Funktion t(x) = x^2 als t(x) = x^2+2x schreiben und sagen das ist das gleiche?

Ich kann doch nicht eine Funktion, die sich so nicht darstellen lässt, trotzdem so darstellen.
Irgendwie steht ich total auf dem Schlauch. Dein erster und zweiter Satz widerspricht sich doch?
  ─   sorcing 21.02.2021 um 21:44

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Dein Beispiel passt überhaupt nicht zum Sachverhalt, weil du das \(t\) direkt umschreibst. Dass beide Funktionen nicht dieselbe sind, ist offensichtlich. In dem Beweis geht es aber um etwas ganz anderes.

Gegeben sei eine differenzierbare Funktion \(f\). Jetzt DEFINIERST (!) du \(\Phi\) wie oben. Das funktioniert für jede beliebige Funktion \(f\). Warum sollte das auch nicht funktionieren? Du benutzt lediglich drei verschiedene Funktionswerte \(f(x), f(a)\) und \(f(b)\) von \(f\). Ganz egal, was dein \(f\) ist, die Funktion \(\Phi\) lässt sich ohne Probleme so definieren. Und dann wendet man den Satz von Rolle an, weil \(\Phi\) die Voraussetzung erfüllt, siehe deine Frage. Daraus folgt dann \(0=f'(z)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) und das wiederum ist die Aussage des Mittelwertsatzes für \(f\).

Ich habe echt keine Ahnung, wo bei dir nun das Problem liegt.
  ─   cauchy 21.02.2021 um 22:03

Ja mir ist/war irgendwie das Konzept einer Hilfsfunktion nicht klar. Aber mit der Erklärung hab ich es glaub verstanden. Natürlich kann für jedes f das \(\Phi\) so definieren, klar ich hab bei \(\Phi\) ja nichts anderes als f "enthalten". Und dann kann ich auf das \(\Phi\) den Satz von Rolle anwenden. Und daraus ergibt sich dann f´(z) = \(\frac {f(b)-f(a)} {b-a}\), und zwar für jedes f, da ich für jedes f das \(\Phi\) habe.
Danke für die Antworten :-)
  ─   sorcing 22.02.2021 um 18:21

Genau so ist es. Du kannst für jedes \(f\) das \(\Phi\) so definieren und dann den Satz von Rolle anwenden und erhälts dann genau die Gleichung des Mittelwertsatzes. :)   ─   cauchy 22.02.2021 um 21:43

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