Punkte auf Geraden 2xn Matrix Rang<3

Aufrufe: 183     Aktiv: 11.04.2022 um 09:54

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Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich finde leider keinen Ansatz. Es soll eine 2 x n Matrix sein. 

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Das ist keine (2xn)-Matrix, da die $a_i\in\mathbb{R}^2$ sind.   ─   cauchy 08.04.2022 um 17:34

Also ist es wirklich eine 3xn Matrix?   ─   user247171 11.04.2022 um 08:34

Ja, a_i sind alle Spaltenvektoren!   ─   mathejean 11.04.2022 um 09:10

Aber die 3 gibt mir doch die Zeilen in der Matrix an. Laut der Abbildung sind es ja 2 Zeilen und nicht 3. Oder habe ich einen Denkfehler?   ─   user247171 11.04.2022 um 09:42

Überall wo steht \(a_i\) steht \(a_i=(_1a_i, _2a_i)^t\)   ─   mathejean 11.04.2022 um 09:54
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Wenn \(a_1,\ldots, a_n\) auf einer Geraden sind (wir dürfen oBdA annehmen \(a_1\not =0\)), existiert \(v\in \mathbb{R}^2\), so dass \(a_i-a_1 \in \mathrm{span}(v)\) für \(1\leq i\leq n\). Ziehe jetzt mal \(a_1\)-Mal die erste Zeile von der zweiten ab, siehst du es jetzt?
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Mach Dir erstmal klar, dass es eine 3xn-Matrix ist. Erst danach sind weitere Überlegungen sinnvoll.
rg=2 bedeutet, dass es zwei linear unabhängige Spalten gibt, von denen alle anderen Spalten linear abhängig sind. Nehmen wir mal, das wären die ersten beiden (o.B.d.A.) und Du willst prüfen, ob $a_3$ (o.B.d.A.) auf der durch $a_1$ und $a_2$ gegebenen Geraden liegt. Formuliere die eben erwähnte lineare Abhängigkeit, stelle etwas um. Überlege nebenher, woran man bei drei Punkten rechnerisch erkennt, ob sie auf einer Geraden liegen und vergleiche mit dem Ergebnis der Umstellung.
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