Äquivalenz bei der stochastischen Unabhängigkeit

Aufrufe: 669     Aktiv: 21.03.2021 um 23:03
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Liebes Forum,
ich habe eine Frage zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit zweier Ereignisse.


Und zwas suche ich einen Beweis, der das folgende beweist:

$$P(A)=P_B(A)    <-->  P_B(A)=P_N(A)$$   , N soll hier bedeuten "Nicht B". Kann das nicht eingeben - sorry!


Dabei ist mir die eine Richtung klar:

$$P_B(A)=P_N(A) -> P(A)=P_B(A) $$ folgt unmittelbar aus dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. Brauche also nur für die andere Richtung Hilfe!

Danke!
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Aus \(P(A)=P_B(A)\) folgt ja \(P(A\cap B)=P(A)P(B).\) Zeige \(P(A\cap B^c)=P(A)P(B^c)\). Dann folgt die rechte Seite aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, denn \(P_B(A)=P(A)=\frac{P(A)P(B^c)}{P(B^c)}=P_{B^c}(A)\).
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