Bestimmen Sie die Höhenvektoren mit Hilfe von Orthogonalprojektion

Erste Frage Aufrufe: 437     Aktiv: 19.04.2021 um 12:50
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Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A (1|1|1), B (−3|0|2) und C (4|1|0).

Bestimmen Sie die Höhenvektoren. (mit Projektionen bestimmen)

Mein Versuch, die Höhe ha zu bestimmen:

Ich habe zuerst den Vektor BA und BC Projektionen bestimmt:

BA = (-4,1,-1)

BC= (7,1,-2)

Als nächstes habe die Orthogonalprojektion von BA auf BC bestimmt

((BA * BC) /(|BC|2) * BC) = (-175/54, -25/54, 25/27)

Als nächstes wollte ich den erhaltenen Vektor zu Punkt B addieren:

(-3, 0, 2) +  (-175/54, -25/54, 25/27) = ( -337/54, -25/54, 79/27)

Dann wollte ich den Punkt A minus diesen Vektor rechnen:

(1,1,1) - ( -337/54, -25/54, 79/27) = (391/54, 79/54, -2/27)

Dies ist jedoch laut den Lösungen falsch. Ich weiss das der Vektor (-175/54, -25/54, 25/27) korrekt ist. Wieso ist meine nachfolgende Berechnung falsch? Bei der Höhe hc habe ich es genau gleich gemacht. Dort hat es funktioniert.

Hier noch meine Skizze:

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Die letzte Komponente des Höhenvektors sollte \(1-\frac{79}{27}=-\frac{52}{27}\) sein, nicht \(-\frac2{27}\). Sonst fällt mir auf die Schnelle kein Fehler auf, der Ansatz ist jedenfalls richtig. Was wäre denn die korrekte Lösung?   ─   stal 19.04.2021 um 12:01
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1 Antwort
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Hallo,
 
ich denke du meinst mit "Ich habe zuerst den Vektor BA und BC Projektionen bestimmt:", dass du die Strecken BA und BC bestimmt hast oder?
Dann hast du dich entweder vertippt, oder dort einen Fehler gemacht, denn

$$ BA = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Also das Vorzeichen vor der \( 4 \) stimmt nicht. Dann sollte aber auch die resultierende Orthogonalprojektion nicht stimmen oder?

Grüße Christian
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