Integritätsring

Aufrufe: 76     Aktiv: 22.11.2021 um 16:31

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Moin, beim beweisen eines Integritätsringes muss man ja zeigen, dass ein Einselement ungleich 0 existiert. 
Nun habe ich hier die verknüpfung x, definiert als: a x b:= a+b -a*b

damit also a verküpft e = a ist, müsste e = 0 sein (a+0 -a*0 = a).
Die voraussetzung sagt aber e ungleich 0... oder gilt das wirklich nur für die Verknüpfung durch multiplikation?
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Student, Punkte: 20

 

Nein, ein Ring $(R,+,\cdot)$ ist ein Integritätsbereich wenn es keine nicht-trivialen Nullteiler gibt. Ein Element $x\in R$ ist ein Nullteiler, falls es ein $y \not= 0$ in $R$ gibt, so dass $xy = 0$.

Z.b. ist $\mathbb Z_6$ kein Integritätsbereich, da $[2]\cdot[3] = [0]$. Wie lautet die genaue Aufgabenstellung?
  ─   zest 22.11.2021 um 13:04

Ich soll zeigen, dass (ZZ, +_, x_) ein Integritätsring ist.
+_ definiert als: a+b -1 und x_ definiert als: a+b -a*b

Damit also p x_ e = p+e -p*e = p wahr ist, muss e=0 sein. Ist das dann aber kein Widerspruch? oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?
  ─   user27c193 22.11.2021 um 13:11

Überleg dir was dein neutrales Element bzgl. "$\oplus$" ist. Und prüfe die Definition, die ich dir oben gegeben habe (in der Definition steht die $0$ für das neutrale Element bzgl. "$+$").

Alternativ kannst du versuchen zu zeigen dass dein Ring isomorph ist zu $\mathbb Z$, dann muss dein Ring ein Integritätsbereich sein. Aber eine bessere Übung ist der erste Weg.
  ─   zest 22.11.2021 um 13:44

Das neutrale Element (,,0") von ⊕ ist 1 (hab ich bereits bewiesen)
also soll ich im Schritt (i) aus dem Screenshot bloß zeigen, dass e ungleich 1 ist und trotzdem x ,,x_" e = x gilt?
  ─   user27c193 22.11.2021 um 13:51

Keine Ahnung was x "x_" e (???) bedeutet. Du sollst zeigen, dass es keine nicht-trivialen Nullteiler gibt. Ich bezog mich auf die Definition, die ich dir gegeben habe. Deine Definition oben hat nichts mit Integritätsbereichen oder Nullteilern zu tun. Das ist einfach nur die Definition eines Rings mit $1$.   ─   zest 22.11.2021 um 14:01

Das war auch schließlich nur ein Kriterium eines Integriätsringes. Laut def. muss dieser ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Eins sein   ─   user27c193 22.11.2021 um 16:11

Ich kenne die genaue Aufgabenstellung nicht. Kommutativität sieht man sofort (da $\mathbb Z$ kommutativ ist). Dass ein $1$-Element existiert ebenfalls: $a\otimes 0 = a$, d.h. $0$ ist dein neutrales Element bzgl "$\otimes$" und $1$ ist dein neutrales Element bzgl. "$\oplus$". Jetzt musst du die Nullteilerfreiheit zeigen (das ist die Definition die ich dir gegeben hab).   ─   zest 22.11.2021 um 16:31
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