Produkt mit transponierter Matrix ein Homomorphismus?

Erste Frage Aufrufe: 191     Aktiv: 02.11.2023 um 09:18

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Hallo,

im Zuge eines Beweises habe ich die Abbildung \(\varphi: \text{GL}_n(\mathbb{R})\rightarrow M_n(\mathbb{R}),A\mapsto AA^t\) konstruiert. Damit ich den Homomorphiesatz anwenden kann, muss \(\varphi\) ein Homomorphismus sein, das zu beweisen gelingt mir jedoch nicht. Folgendes habe ich schon gerechnet:
\( \varphi(AB)=(AB)(AB)^t=ABB^tA^t=A\cdot \varphi(B)\cdot A^t\)
Liegt hier irgendein Spezialfall vor, sodass diese Rechnung kommutativ ist? Denn i.A. sind symmetrische Matrizen ja nicht kommutativ. Oder bringen meine Versuche sowieso nichts, weil \(\varphi\) gar kein Homomorphismus ist?

Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
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Student, Punkte: 12

 

Homomorphismus von was? Gruppen? $M_n(\mathbb R)$ ist im Allgemeinen keine Gruppe, jedenfalls nicht unter Matrixmultiplikation da nicht jede Matrix invertierbar ist und somit nicht immer ein Inverses existiert. Du musst, wenn dann, erklären was deine Gruppenoperation sein soll.

  ─   zestysupreme 01.11.2023 um 16:57

Naja, wenn man sich jetzt \(\mbox{M}_n(\mathbb{R})\) durch \(\mbox{GL}_n(\mathbb{R})\) ersetzt denkt, dann hätte \(\varphi\) schon eine Chance, ein Homomorphismus zu sein, denn \(\mbox{GL}_n(\mathbb{R})\) ist ja eine (multiplikative) Gruppe, und wenn \(A\) invertierbar ist, so auch \(A A^t\), d.h. \(\varphi(A) \in \mbox{GL}_n(\mathbb{R})\) für alle \(A\in \mbox{GL}_n(\mathbb{R})\).

Indes, es gibt ein Gegenbeispiel: \(A=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\0&1 \end{array}\right),\;\;B=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\0&4 \end{array}\right)\).
Dann ist
\(\varphi(A) = \left( \begin{array}{cc} 2&1\\1&1 \end{array}\right),\;\;
\varphi(B) = \left( \begin{array}{cc} 1&0\\0&4 \end{array}\right),\;\;
AB = \left( \begin{array}{cc} 1&2\\0&2 \end{array}\right),\;\;
\varphi(AB) = \left( \begin{array}{cc} 1&4\\4&4 \end{array}\right),\;\;
\varphi(A) \varphi(B)=\left( \begin{array}{cc} 2&4\\1&4 \end{array}\right) \).

Also: NEIN, \(\varphi\) IST KEIN HOMOMORPHISMUS !
  ─   m.simon.539 02.11.2023 um 01:58

Danke für die Hilfe! Mist, dass hatte ich ganz übersehen...
Dann werde ich mir einen anderen Weg suchen.
  ─   algebraeule 02.11.2023 um 09:18
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\(\varphi\) ist kein Homomorphismus in der Gruppe \((\mbox{GL}_n(\mathbb{R}), \cdot)\). Siehe Gegenbeispiel in meinem Kommentar.
:-(
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