Rechtsseitiger Grenzwert von sin(x)/(1-cos(x))

Erste Frage Aufrufe: 51     Aktiv: 31.08.2021 um 15:59

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Hallo,
warum beträgt der rechtsseitige Grenzwert angenähert an x=0, also x-> 0+, der Funktion sin(x)/(1-cos(x)) plus Unendlich?
Meine Herangehensweise wäre, erst den rechtsseitigen Grenzwert von sin(x) angenähert an x=0 zu bestimmen, was folglich 0 wäre.
Man könnte danach natürlich noch den Grenzwert von 1-cos(x) bestimmen, was auch 0 wäre. Wenn man sich die Graphen der Funktionen anzeigen lässt, sieht man das die beiden Grenzwerte so stimmen.
0/0 ist zwar ein mathematischer Fehler, wenn man sich jedoch annähert, wäre der Grenzwert der gesamten Funktion trotzdem noch 0.
Was ist an meiner Denkweise falsch, da der richtige Grenzwert der Funktion ja schlussendlich plus Unendlich ist?
Danke schonmal im Voraus :)
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Student, Punkte: 10

 
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Falsch ist die Schlussfolgerung, dass 0/0 " unendlich ist", Für 1/0 gilt die Überlegung, 0/0 ist unbestimmt, d.h. ob ein Grenzwert existiert, muss anders ermittelt werden.
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selbstständig, Punkte: 9.03K

 

Okay, danke Dir für die schnelle Antwort. Ich verstehe, was Du meinst. Da es sich ja um eine gebrochen rationale Funktion handelt, gibt es schlussendlich ja auch eine Definitionslücke bei x=0. Bedeutet dort liegt eine senkrechte Asymptote. Kann man über den VZW der Polstelle den Grenzwert dann bestimmen? Wäre das eine valide Herangehensweise?   ─   on.a.random.box 31.08.2021 um 14:38

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Falls ihr die Regel von L'Hospital behandelt habt, dann ist das die korrekte Herangehensweise für diese Aufgabe. Die Regel ist nämlich für Ausdrücke, die $\frac{0}{0}$ ergeben, sehr hilfreich. ;)
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Selbstständig, Punkte: 11.12K

 

Ne sagt mir nichts. Haben wir in der Oberstufe nicht behandelt und 1. Semester beginnt erst. Habe mich aber schonmal an eine 1. Semester Wirtschaftsmathematik-Klausur gewagt, deshalb kannte ich diesen Fall höchstwahrscheinlich nicht. Danke jedoch für die Hilfe.   ─   on.a.random.box 31.08.2021 um 15:29

Woher stammt denn die Aufgabe? Die Regel wird übrigens schon seit Jahren, wenn nicht sogar Jahrzehnten, nicht mehr in der Oberstufe behandelt, ist aber Teil der Analysis-Vorlesung im 1. Semester. Wenn es also eine Klausuraufgabe ist, dann wird es sehr wahrscheinlich noch kommen.   ─   cauchy 31.08.2021 um 15:49

Die Aufgabe stammt aus dem Internet. Wie gesagt ich fange ja jetzt erst mit dem ersten Semester an und habe halt aus Spaß schonmal eine 1. Semester-Klausur Wirtschaftsmathematik durchgerechnet. Ich glaube die Klausur kam von einer FH aus Hessen oder so.   ─   on.a.random.box 31.08.2021 um 15:59

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Eine Variante ohne die Regel von l'Hospital.
Erweitere den Bruch mit $1+\cos x$, beachte $\sin^2x+\cos^x=1$, kürze und prüfe dann den Grenzwert nochmal.
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Lehrer/Professor, Punkte: 16.16K

 

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