Kürzen dieses Bruches

Aufrufe: 803     Aktiv: 09.04.2021 um 13:18

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Wie wird dieser Bruch gekürzt um auf das zweite Ergebnis zu kommen?

Danke im Voraus :)

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andere Möglichkeit: 

\(\frac{-2 \pm \sqrt{-4t+12} }{2}= \frac{-2\pm\sqrt{4(-t+3)}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{-t+3}}{2}=\frac{2(-1\pm\sqrt{-t+3})}{2}=-1\pm\sqrt{-t+3}\)

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Hallo Brigi

Also du kannst das folgendermassen lösen:
\(\frac{-2\pm \sqrt{-4t+12}}{2}=\frac{-2}{2} \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{2}\) 
Das darfst du immer machen ist ja eigentlich nichts anderes als die Addition von Brüchen einfach rückwärts.
Nun kannst du kürzen, dann erhälst du:
\(\frac{-2\pm \sqrt{-4t+12}}{2}=\frac{-2}{2} \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{2}=-1 \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{2}\) 
Nun bemerkst du dass wir schon fast am Ziel sind, es fehlt aber noch ein kleiner Schritt, diesen möchte ich zuerst formal erklären

Trick
Wir benutzen folgende Regel: 
Für \(\forall a,b \in \mathbb{R}\) gilt ja dass \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\). Ich hoffe diese Regel ist dir bekannt.

Wir nehmen nun an wir haben \(a,b \in \mathbb{R}\) und den Term \(\frac{\sqrt{a}}{b}\). Du kannst nun diesen Nenner geschickt umschreiben, nämlich du quadrierst ihn und ziehst gleichzeitig die Wurzel, dann machst du ja eigentlich nichts also erhalten wir:
\(\frac{\sqrt{a}}{b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}}\) 
Nun benützen wir die Regel von oben einfach rückwärts und erhalten:
\(\frac{\sqrt{a}}{b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}}=\sqrt{\frac{a}{b^2}}\).

Ich hoffe das ist dir klar.

So nun zurück zu deiner Aufgabe, da ist nämlich \(a=-4t+12\) und \(b=2\)
Wir schreiben den Nenner geschickt um und erhalten:
\(1 \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{2}=1 \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{\sqrt{2^2}}=1 \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{\sqrt{4}}\)
Nun verwenden wir die Regel von oben und erhalten:
\(1 \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{\sqrt{4}}=1 \pm \sqrt{\frac{-4t+12}{4}}\) 
Nun kannst du unter der Wurzel den Bruch wie gewohnt kürzen, also die 4 ausklammern und kürzen und dann erhälst du:
\(1 \pm \sqrt{\frac{-4t+12}{4}}=1 \pm \sqrt{-t+3}\)

Ich fasse dir das Ganze nochmals kompakt zusammen:

\(\frac{-2\pm \sqrt{-4t+12}}{2}\\=\frac{-2}{2} \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{2}\\ \stackrel{kürzen}{=}-1 \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{2}\\ \stackrel{\text{Nenner geschickt umschreiben}}{=}1 \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{\sqrt{2^2}}\\=1 \pm \frac{\sqrt{-4t+12}}{\sqrt{4}}\\ \stackrel{\text{Regel anwenden}}{=}1 \pm \sqrt{\frac{-4t+12}{4}} \\ \stackrel{kürzen}{=}1 \pm \sqrt{-t+3}\)

ich hoffe du hast das Prinzip/Trick verstanden, sonst darfst du dich sehr gerne nochmals melden.
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Student, Punkte: 1.95K

 

Vielen Dank für die tolle Antwort!! Vlt. könntest du mir noch mit der Fallunterscheidung helfen. Denn dies ist der 3. Fall D>0. Und die Lösung zu diesem Fall lautet für t<3. Kann die Lösung schlecht nachvollziehen. Danke nochmals!!!   ─   brigi 09.04.2021 um 11:46

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in fast allen Zeilen fehlt vor der ersten Zahl 1 ein Minuszeichen   ─   honda 09.04.2021 um 11:53

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@honda, oh sorry das ist mir untergegangen, habe ich leider vergessen tut mir leid   ─   karate 09.04.2021 um 11:55

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@brigi
Okei also hab den Zusammenhang zur Aufgabe zwar nicht ganz aber ich glaube ich weiss was du meinst. Du möchtest nun das \(t\) so finden, dass \(D>0\) gilt. Na gut also du weisst ja auch dass in unserem Fall \(D=\sqrt{-t+3}\) ist so nun setzt du das also >0 und erhältst \(\sqrt{-t+3}>0 \Leftrightarrow -t+3>0 \Leftrightarrow 3>t \Leftrightarrow t<3\) und dann hättest du dein t gefunden
  ─   karate 09.04.2021 um 11:59

Ja hab’s jetzt. Vielen vielen Dank. Viel Erfolg auf dem weiteren Weg !!!!   ─   brigi 09.04.2021 um 12:09

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Super! Haben wir doch gern gemacht und wünsche ich dir auch bis zum nächsten Mal.   ─   karate 09.04.2021 um 13:18

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