Question

Uneigentliches Integral

Aufrufe: 732 Aktiv: 15.12.2020 um 11:24

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Hallo, ich habe nur eine Frage zur Vorgehensweise bei der a). Und zwar ob ich argumentieren kann, wenn ich zeige, dass sint/t in t=0 stetig ist somit sint/t auf dem Kompaktum [0,x] Riemann- Integrierbar ist und ich entsprechend auch ohne die Bildung des uneigentliche Integrals auskomme? Liebe Grüße

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gefragt 14.12.2020 um 19:33

vzqxi
Student, Punkte: 304

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1 Antwort

42 · Accepted Answer · 2020-12-14T19:47:37Z

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\( \frac{sin(t)}{t} \) kann in \( t=0 \) überhaupt nicht stetig sein, denn die Funktion ist dort überhaupt nicht wohldefiniert. Deine Idee ist aber gut. Es geht darum, dieses Problem der Definitionslücke zu beheben.

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geantwortet 14.12.2020 um 19:47

42
Student, Punkte: 7.02K

also wenn ich das richtig verstanden habe, ist ja das Problem, dass für lim t->0 sin(t)/t =1 ist aber S(0) = 0. Jetzt ist die Frage, wie löse ich das Problem? Könnte ich vllt dann argumentieren mit: Es existiert eine Unstetigkeitsstelle in x=0, aber damit ist die Menge der Unstetigkeitsstellen abzählbar, entsprechend Lebesgue-Maß 0 und damit trotzdem auf dem Intervall [x,0] Riemann integrierbar ? ─ vzqxi 14.12.2020 um 20:03

Aber das Problem ist ja dann, dass S(x) nicht diffbar in x=0 ist, also kann ich damit auch den zweiten teil der Aufgabe nicht zeigen, dass sie stetig diffbar ist. Andererseits wäre eine andere Idee: ich erweitere die Definition um eine Funktion, die auf [-epsilon,0] bzw [0, epsilon] entsprechend die Stetigkeit herstellt, aber die Definition soll ich ja so lassen. ─ vzqxi 14.12.2020 um 20:09

Das entscheidende ist, dass \( \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \) ist. Das bedeutet ja, dass sich die Funktion in \( t=0 \) stetig fortsetzen lässt. Wir definieren also die stetige Fortsetzung \( g(t) = \begin{cases} \frac{\sin(t)}{t} & t \neq 0 \\ 1 & t=0 \end{cases} \). Diese Funktion ist nun stetig und somit riemann-integrierbar. Damit kann man \( S \) nun ohne uneigentliches Integral durch \( S(x) = \begin{cases} \int_0^x g(t) \ dt & x \ge 0 \\ \int_x^0 g(t) \ dt & x < 0 \end{cases} \) definieren. Dass diese beiden Definitionen gleich sind, muss man dann noch überprüfen. ─ 42 14.12.2020 um 20:15

Ahh ok und dann würde ich mit der Funktion g die setige differenzierbarkeit zeigen. Super, vielen Dank !!!
─ vzqxi 14.12.2020 um 20:19

Sehr gerne :) ─ 42 14.12.2020 um 20:20

Ich habe nochmal nachgedacht und ich glaube, dass der zweite Teil der Aufgabe überhaupt nicht funktioniert. Die Funktion \( S \) ist nicht stetig-differenzierbar. Für \( x > 0 \) ist \( S^\prime(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) und für \( x < 0 \) ist \( S^\prime(x) = - \frac{\sin(x)}{x} \). Wegen \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \) kann somit \( S^\prime \) in \( x=0 \) nicht stetig sein. ─ 42 14.12.2020 um 20:57

Das habe ich mich auch gefragt. Wo könnte dann der Fehler liegen... Ich meine deine angegebene Ableitung stimmt ja eigentlich. Vielleicht müsste man g anders definieren, was ja eigentlich nicht sein kann. Aber ich bezweifel eigentlich, dass dort der Aufgabensteller ein Fehler gemacht hat... ─ vzqxi 14.12.2020 um 21:15

Ich denke, da hat der Aufgabensteller ein Minus vergessen. Wenn man \( S \) für \( x < 0 \) durch \( S(x) = - \int_x^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt \) definiert, dann passt alles. Dann wäre auch einfach \( S(x) = \int_0^x g(t) \ dt \).
Am besten fragst du da mal nach. ─ 42 14.12.2020 um 21:20

Ja, wird wahrscheinlich der Fall sein. Werde ich. Schönen Abend und nochmals besten Dank :) ─ vzqxi 14.12.2020 um 21:21

Danke, dir auch einen schönen Abend :) ─ 42 14.12.2020 um 21:22

Es tut mir echt leid , dass ich nochmal fragen muss, aber für meine Ableitung von S, muss diese doch auch eigentlich 1 für x=0 sein. sonst kann sie ja nicht stetig sein, Aber wenn ich S(x) ableite, verschwindet doch meine eins und wird zu 0. Dann ist sie aber auf keinen Fall in x=0 stetig? Wo liegt mein Denkfehler? ─ vzqxi 14.12.2020 um 21:48

Es muss \( S^\prime(0)=1 \) sein, damit \( S^\prime \) stetig ist. Das sehe ich auch so. Aber ich verstehe dann nicht mehr, was du mit der Ableitung und der Eins meinst.
Die Funktion \( S \) ist (so wie ich das sehe) vom Aufgabensteller falsch definiert worden. In dieser Form müsste \( S \) an der Stelle \( 0 \) nicht mal differenzierbar sein. ─ 42 14.12.2020 um 22:01

Hier vielleicht mal eine Begründung dafür, warum die Funktion \( S \) aus der Definition nicht an der Stelle \(0\) differenzierbar sein kann:
Wegen \( \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \) gibt es insbesondere eine Epsilon-Umgebung \( U_{\varepsilon}(0) \) von \(0\), sodass \( \frac{\sin(t)}{t} \ge \frac{1}{2} \) für alle \( t \in U_{\varepsilon}(0) \) ist. Damit erhalten wir dann für positive \( x \in U_{\varepsilon}(0) \) die Ungleichung \( \int_0^x \frac{\sin(t)}{t} \ dt \ge \int_0^x \frac{1}{2} \ dt = \frac{x}{2} \) und somit \( \frac{ \int_0^x \frac{\sin(t)}{t} \ dt }{x} \ge \frac{1}{2} \). Und für negative \( x \in U_{\varepsilon}(0) \) erhalten wir die Ungleichung \( \int_x^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt \ge \int_x^0 \frac{1}{2} \ dt = \frac{-x}{2} \) und somit \( \frac{ \int_x^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt }{x} \le - \frac{1}{2} \).
Wäre \( S \) nun in \(0\) differenzierbar, dann würde somit der folgende Widerspruch entstehen
\( \frac{1}{2} \) \( \le \lim_{x \to 0+} \frac{\int_0^x \frac{\sin(t)}{t} \ dt}{x} \) \( = \lim_{x \to 0+} \frac{S(x)-S(0)}{x-0} \) \( = S^\prime(0) \) \( = \lim_{x \to 0-} \frac{S(x)-S(0)}{x-0} \) \( = \lim_{x \to 0-} \frac{\int_x^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt}{x} \) \( \le - \frac{1}{2} \).

Hier vielleicht mal eine Begründung dafür, warum die Funktion \( S \) aus der Definition nicht an der Stelle \(0\) differenzierbar sein kann:
Wegen \( \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \) gibt es insbesondere eine Epsilon-Umgebung \( U_{\varepsilon}(0) \) von \(0\), sodass \( \frac{\sin(t)}{t} \ge \frac{1}{2} \) für alle \( t \in U_{\varepsilon}(0) \) ist. Damit erhalten wir dann für positive \( x \in U_{\varepsilon}(0) \) die Ungleichung \( \int_0^x \frac{\sin(t)}{t} \ dt \ge \int_0^x \frac{1}{2} \ dt = \frac{x}{2} \) und somit \( \frac{ \int_0^x \frac{\sin(t)}{t} \ dt }{x} \ge \frac{1}{2} \). Und für negative  \( x \in U_{\varepsilon}(0) \) erhalten wir die Ungleichung \( \int_x^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt \ge \int_x^0 \frac{1}{2} \ dt = \frac{-x}{2} \) und somit \( \frac{ \int_x^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt }{x} \le - \frac{1}{2} \).
Wäre \( S \) nun in \(0\) differenzierbar, dann würde somit der folgende Widerspruch entstehen
\( \frac{1}{2} \) \( \le \lim_{x \to 0+} \frac{\int_0^x \frac{\sin(t)}{t} \ dt}{x} \) \( = \lim_{x \to 0+} \frac{S(x)-S(0)}{x-0} \) \( = S^\prime(0) \) \( = \lim_{x \to 0-} \frac{S(x)-S(0)}{x-0} \) \( = \lim_{x \to 0-} \frac{\int_x^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt}{x} \) \( \le - \frac{1}{2} \).

─ 42 14.12.2020 um 22:44

Ja also S(x) ist auf keinen Fall differenzierbar. Aber ich meine, selbst wenn sie differenzierbar wäre, müsste ich ja dann noch zeigen, dass die Ableitung stetig ist. Nehmen wir an, wir würden die richtige Definition benutzen, dann würde doch die Ableitung folgendermaßen aussehen sin(x)/x für x ungeich 0 und 0 für x=0. Damit ist,selbst wenn S(x) diffbar ist, die Ableitung auch auf keinen Fall stetig in x=0, selbst wenn ich die Defintionvon S(x) anpasse oder nicht? Verstehst du, was ich meine? :D Ach quatsch, ich habe mein Denkfehler gerade entdeckt, oh jee.... Ich habe gedacht, dass ich die 1 von meinem S(x) für x=0 ableiten müsste zu 0 für x=0, aber die Ableitung in 0 wäre ja dann eins. Also hätte als Definition für meine Ableitung Sin(x)/x für x ungelich 0 und 1, für x=0 und die ist dann stetig. ─ vzqxi 15.12.2020 um 09:37

Tut mir echt leid für die ganzen Fragen :) ─ vzqxi 15.12.2020 um 09:48

Schön, dass du deinen Denkfehler selbst erkannt hast ;D Manchmal kommt man auch echt durcheinander bei solchen Sachen.
Du brauchst dich für die ganzen Fragen nicht zu entschuldigen. Genau dafür ist das Forum ja da. Und ich helfe immer gern weiter :) ─ 42 15.12.2020 um 11:24

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