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Man könnte die 0 auch in beide Intervalle hinzunehmen, die Funktion ist auch auf \(]-\infty,0]\) streng monoton fallend und auf \([0,1[\) streng monoton steigend. Die 0 selbst behandelt man ja aber sowieso noch mal extra, weil sie ja der Tiefpunkt ist. Das ist Geschmackssache, ob man sie nochmal in die Intervalle mit dazu schreiben möchte.
Der letzte Limes geht ja schon für \(x\to\infty\), also für beliebig große x-Werte nähert sich \(f(x)\) immer mehr der Zahl 1 an. Da wir schon \(x\to\infty\) betrachten, gibt es nichts mehr, was danach noch kommt.
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sterecht
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Und von wo weißt man, dass der erste Limes fällt?
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kamil
04.04.2020 um 20:45
Nicht der Limes fällt, sondern die Funktion in dem Intervall. Du hast ja vorher (hoffentlich) schon die Nullstellen der ersten Ableitung ausgerechnet. Deshalb weißt du, dass das Vorzeichen der ersten Ableitung sich im Intervall \(]-\infty,0[\) nicht ändert, weil es dort keine Nullstelle gibt. Folglich bleibt auch das Monotonieverhalten gleich. Insgesamt fällt der Graph von 1 auf \(\frac1e\), also ist der Graph streng monoton fallend.
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sterecht
04.04.2020 um 21:02