Ich würde da so vorgehen:

`a_(n+1)-a_n=sqrt(3*a_n)-a_n=sqrt(3*a_n)-sqrt(a_n^2)=(3a_n-a_n^2)/(sqrt(3*a_n)+a_n)`

Hier wurde mit der dritten binomischen Formel erweitert.

Wir wissen, dass `a_n>0` für alle n. 

Wir sehen ein, dass für alle `a_n>3` gelten muss, dass `a_(n+1)<a_n`

Für alle `a_n<3` muss gelten `a_(n+1)>a_n`

Für `a=3` würde hingegen gelten `a_n=a_(n+1)`

Mit vollständiger Induktion können wir zudem folgendes beweisen:

`a_(n)<3` --> für unseren Fall `a_0=1`

`a_0<3` und `a_1<3` bzw. `1<3` und `sqrt(3)<3` offensichtlich --> Induktionsanfang

`a_(n+1)=sqrt(3*a_n)` --> Einsetzen der Voraussetzung

`sqrt(3*a_n)<sqrt(3*3)<=3`

Also `a_n<3` für alle n.

Wir haben also stenge Monotonie gezeigt und eine obere Schranke gefunden, damit ist Konvergenz gezeigt (zumindest nach den Kriterien die in meinem Studium verwendet werden dürfen). Der Grenzwert ist 3.