Glücksrad stochastik

Erste Frage Aufrufe: 51     Aktiv: 25.08.2021 um 18:49

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Hay, es geht um eine Aufgabe, in der man die Winkel/ Sektoren eines Glücksrads mit Mitteln der Analysis ändern muss, um eine größtmögliche Wahrscheinlichkeit für die Fälle zu ermitteln, in denen der Gewinn einbehalten wird. Die Angaben waren folgende: Das Rad weist vor der Änderung 3 Sektoren auf: pink (180 Grad), grün (90 Grad) und lila (90 Grad) Der Einsatz pro Spiel beträgt 1 Euro und man hat drei Versuche 3 Mal dieselbe Farbe gibt 2 Euro und damit 1 Euro gewinn 2x dieselbe gibt 1 Euro also 0 Euro gewinn alle anderen fälle bedeuten kein Gewinn oder -1 Euro also Verlust Für die Aufgabe bleiben die Spielregeln gleich, aber Sektor Pink soll nach der Änderung doppelt so groß sein wie der grüne. Zudem sollen die Fälle, in der der Einsatz einbehalten wird, das Maximum erreichen. Wie mache ich das ?
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Hi :) 

Wenn ich das richtig sehe, geht es dem Betreiber darum, dass so oft wie möglich 3 mal verschiedene Farben gedreht werden ... ist dem so? (mich verwundert es etwas, dass einmal bei "Gewinn" von Kundengewinn, ein anderes Mal von Betreibergewinn gesprochen wird)

Die Wahrscheinlichkeit \(P_{ges}\), dass 3 verschiedene Zahlen gedreht werden ist 
 \(P_{ges}=3! * P_{pink} * P_{grün}* P_{lila}\)
Warum ist das so? Ist dir das klar? 

Nun musst du noch zwei Gleichungen aufstellen, die die drei Farben-Wahrscheinlichkeiten verbinden und in die Gesamtgleichung einsetzen, dann wird es zu einer normalen Extremwertaufgabe, bei der du das Maximum bestimmen sollst. 


kommst du damit weiter?


viele Grüße;) 

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Naja, im zweifelsfall würde ich mir den Verzweigungsbaum zeichnen und eben alle Fälle zusammenzählen wo 1,2 oder 3 gleiche Zahlen vorkommen.

Allgemein:

sagen wir mal, deine winkelangaben wären Gr,Gg,Gb.

(habe die so genannt weil ich gedanklich mal von (r)ot, (g)rün und (b)lau ausgehe)

Zusammen müssen die natürlich 360° ergeben, was wir vorerst aber mal ignorieren.

Dann gilt für die wahrshceinlichkeiten:

Pr=Gr/360

analog für Pg und Pb.

Die 3 sind dann deine Einzelwahrshceinlichkeiten.

Damit kannst du dann in jedem Pfad im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit berechnen sowie den Gewin oder Verlust in dem pfad.

In deiner Situation müsstest du eben die pfade betrachten und deren wahrscheinlichkeiten zusammenzählen wo gewinn=0 ist

(wobei ich noch nicht so recht rauskomme, welchen fall du genau meinst mit "wo der gewinn einbhealten wird".

Es kommen 3 fälle vor:

gewinn=2-1=1, gewinn=1-1=0 und gewinn=0-1=-1)

 

Willst du  bspw. alle fälle wo 3 ungleiche zahlen vorkommen (also endprofit -1 euro), dann berehcnest du die wahrshceinlichkeit für einen pfad zu

P1=Pr*Pg*Pb

wie viele dieser pfade gibt es?

Genauso viele, wie es auch möglichkeiten gibt, 3 unterschieldiche sachen anzuordnen.

sagt dir die kombinatorik wie viele das sind :-)

Anzahl an pfaden*wahrshcienlichkeit pro pfad= gesamtwahrshceinlichkeit für die dich interesierenden fälle.

nun hast du eine formel für die gesamtwahrshceinlichkeit P mit den 3 unbekannten Pr,Pb und Pg.

kannst nun noch 2 Sachen machen:
zum einen die Ps durch die Ausdrücke mit G/360° ersetzen.

und hingehen und einen der 3 G ausdrücke durch die anderen beiden Ausdrücken, also bspw. Gr=360-Gg-Gb ersetzen.

hast also am ende noch die 2 unbekannten Gg und Gb, die du abändern kannst was je nachdem deine Wahrshceinlichkeit beeinflusst.

für welches wertepaar die maximal wird?

Stichwort: Maximierungsproblem mit 2 Unbekannten.

 

 

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