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wie sehen die ableitungen der parametrisierung aus?
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anonymf907f
04.02.2021 um 15:36
das erste: cos^2t-2t cost*sin(t)
beim 2. weiß ichs nicht wie ich cos^2 ableiten soll ─ anonymf907f 04.02.2021 um 15:39
beim 2. weiß ichs nicht wie ich cos^2 ableiten soll ─ anonymf907f 04.02.2021 um 15:39
Um die Ableitung der Parametrisierung zu bestimmen, musst du jede Komponente von \( \vec{r}(t) \) nach \(t\) ableiten. Auf welche Ableitungen kommst du dabei?
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anonym42
04.02.2021 um 15:41
ja stimmt die erste? wie lauten die anderen?
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anonymf907f
04.02.2021 um 15:43
Ja die erste stimmt. ... bei der zweiten musst du auch die Produktregel und die Kettenregel anwenden.
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anonym42
04.02.2021 um 15:48
also das erste: cos^(2)t-2t cost*sin(t)
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anonymf907f
04.02.2021 um 15:53
die 2.: tsin^2 t sin t 3t cos t
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anonymf907f
04.02.2021 um 15:54
Die zweite müsste \( 2t\sin ^3(t) +3t^2\sin ^2(t) \cos (t) \) sein.
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anonym42
04.02.2021 um 15:58
die 3.: -(2t-pi)/1*wurzel(-2(t-pi)))
ist die richtig? ─ anonymf907f 04.02.2021 um 16:03
ist die richtig? ─ anonymf907f 04.02.2021 um 16:03
Das letzte müsste \[ \frac{-(2t-\pi)}{2\sqrt{t(\pi -t)}}\]
sein. ─ anonym42 04.02.2021 um 16:09
sein. ─ anonym42 04.02.2021 um 16:09
die habe ich auch so
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:11
wie setze ich das jetzt ein ?
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:11
..wenn du jetzt mit der Rechnung weiter machen würdest, dann wäre das Integral relativ schwierig zu berechnen.
Deswegen lohnt es sich zu überprüfen, ob das Vektorfeld \( \vec v\) sich als ein Gradientenfeld darstellen lässt. ─ anonym42 04.02.2021 um 16:12
Deswegen lohnt es sich zu überprüfen, ob das Vektorfeld \( \vec v\) sich als ein Gradientenfeld darstellen lässt. ─ anonym42 04.02.2021 um 16:12
Es also ein Skalarfeld \(g\) gibt, sodass \[\nabla g (x,y,z) =\vec v (x,y,z) .\]
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anonym42
04.02.2021 um 16:14
wie kann ich das darstellen?
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:15
Ein solches Skalarfeld ist z.B. gegeben durch \( g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\).
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anonym42
04.02.2021 um 16:17
Aus der mehrdimensionalen Kettenregel (oder irgend einem Satz in deinem Skript) folgt dann
\[ \int _K \vec v \, d\vec x = g(\vec r( \pi ) ) - g(\vec r( 0 ) ) .\] ─ anonym42 04.02.2021 um 16:20
\[ \int _K \vec v \, d\vec x = g(\vec r( \pi ) ) - g(\vec r( 0 ) ) .\] ─ anonym42 04.02.2021 um 16:20
naja das ding ist die laden keine skripte hoch
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:22
wie genau muss ich das einsetzen?
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:22
kommt da -pi^3/4 +15pi^2/12+pi/2-320/27 heraus
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:24
\[ \vec r(0)= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec r(\pi )= \begin{pmatrix} \pi \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
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anonym42
04.02.2021 um 16:28
Damit kommt man auf \[g(\vec r( \pi ) ) - g(\vec r( 0 ) ) = \pi ^2 .\]
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anonym42
04.02.2021 um 16:31
also ich setze jeweils 0 in die r(t) ?
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:32
genau einmal \( \pi \) und einmal \(0\)
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anonym42
04.02.2021 um 16:34
warum habe ichs denn abgelietet wenn ich das nicht eingesetzt habe
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:41
also in rk nicht in r´k?
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:41
also picos^2 (pi-pi) - 0cos^2pi-0
pi^2sinpi - 0^2sin^3 *0
wurzelpi(pi-pi) - wurzelo-(pi-0) ─ anonymf907f 04.02.2021 um 16:47
pi^2sinpi - 0^2sin^3 *0
wurzelpi(pi-pi) - wurzelo-(pi-0) ─ anonymf907f 04.02.2021 um 16:47
Mir ist erst später aufgefallen, dass das Vektorfeld ein Gradientenfeld ist. Deswegen kann man diese Abkürzung hier nehmen.
Normalerweise würde man die Ableitung der Parametrisierung bestimmen müssen und dann das Integral
\[ \int _0 ^\pi \vec v (\vec r (t) ) \cdot \dot {\vec r}(t) \, dt \]
berechnen. Da würde man auf das selbe Ergebnis kommen. ─ anonym42 04.02.2021 um 16:47
Normalerweise würde man die Ableitung der Parametrisierung bestimmen müssen und dann das Integral
\[ \int _0 ^\pi \vec v (\vec r (t) ) \cdot \dot {\vec r}(t) \, dt \]
berechnen. Da würde man auf das selbe Ergebnis kommen. ─ anonym42 04.02.2021 um 16:47
ah okay
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:47
stimmt das wie es eingesetzt habe
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anonymf907f
04.02.2021 um 16:49
wie bist du auf pi^2 gekommen?
─ anonymf907f 04.02.2021 um 16:56
─ anonymf907f 04.02.2021 um 16:56
Du musst \( \pi\) und \( 0\) getrennt in \(\vec r(t)\) einsetzen und danach die Ergebnisse jeweils in \( g\) einsetzen. Dann kann man
\[ g(\vec r( \pi ) ) - g(\vec r( 0 ) )\]
berchnen. ─ anonym42 04.02.2021 um 16:56
\[ g(\vec r( \pi ) ) - g(\vec r( 0 ) )\]
berchnen. ─ anonym42 04.02.2021 um 16:56
\[ g(\vec r( 0 ) ) = g (0,0,0) = 0 \]
und
\[ g(\vec r( \pi ) ) = g (\pi ,0,0) = \pi ^2 \] ─ anonym42 04.02.2021 um 16:59
und
\[ g(\vec r( \pi ) ) = g (\pi ,0,0) = \pi ^2 \] ─ anonym42 04.02.2021 um 16:59
ah okay wenn ich pi und 0 in rt einsetze habe ich für pi (0,0,0) und für r(0) (pi,0,0) heraus das muss ich dann die werte in in die ableitung einsetzen also in k´(t) meinst du das so?
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anonymf907f
04.02.2021 um 17:03
könntest du mir bittre zeigen wie dus einsetzt bin jetzt irgendwie verwirrt
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anonymf907f
04.02.2021 um 17:06
was ist denn g?
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anonymf907f
04.02.2021 um 17:10
Die Werte
\[ \vec r(0)= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec r(\pi )= \begin{pmatrix} \pi \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
muss man dann in die Funktion \( g(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 \) einsetzen. Dann ist
\[ g(\vec r( 0 ) ) = g (0,0,0) = 0 \quad \text{und} \quad g(\vec r( \pi ) ) = g (\pi ,0,0) = \pi ^2 . \]
Dann kann man \[ g(\vec r( \pi ) ) - g(\vec r( 0 ) ) = \pi ^2 \]
berechnen. Und man erhält somit: \[ \int _K \vec v \, d\vec x = g(\vec r( \pi ) ) - g(\vec r( 0 ) ) = \pi ^2 .\] ─ anonym42 04.02.2021 um 17:13
\[ \vec r(0)= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec r(\pi )= \begin{pmatrix} \pi \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
muss man dann in die Funktion \( g(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 \) einsetzen. Dann ist
\[ g(\vec r( 0 ) ) = g (0,0,0) = 0 \quad \text{und} \quad g(\vec r( \pi ) ) = g (\pi ,0,0) = \pi ^2 . \]
Dann kann man \[ g(\vec r( \pi ) ) - g(\vec r( 0 ) ) = \pi ^2 \]
berechnen. Und man erhält somit: \[ \int _K \vec v \, d\vec x = g(\vec r( \pi ) ) - g(\vec r( 0 ) ) = \pi ^2 .\] ─ anonym42 04.02.2021 um 17:13
jetzt kann ichs nachvollziehen danke
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anonymf907f
04.02.2021 um 17:20
Gern geschehen.
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anonym42
04.02.2021 um 17:21