Ebene aufstellen: Punkt und Gerade

Erste Frage Aufrufe: 50     Aktiv: 12.06.2024 um 01:39

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Ich habe P(2; 3; 0) und g: x = (0; 3; 0) + s*(3; 4; 0)

Ich weiß das ich die Gerade g nehmen kann und dann in die Ebenengleichung einsetzen kann und muss nur noch einen RV herausfinden, welcher mit dem Stützvektor der Geraden g und dem Punkt P subtrahierend funktioniert, um dann den 2. RV zu bekommen.

E: x = (0; 3; 0) + s*(3; 4; 0) + t*(-2; 0; 0)

A = Stützvektor von der Geraden g

Fragen:

1. Frage ist spielt das eine Rolle ob ich jetzt beim 2. RV: a-p mache weil RV-PA oder p-a weil RV-AP?
2. Kann ich auch den Punkt P als Stützvektor bei der Ebene nehmen sodass E: x = (2; 3; 0) + ..... ist?
3. Gibt es sowas wie eine Probe die ich durchführen kann, um zu sehen, dass ich richtig liege?

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Ich nehme mal an, Du sollst eine Ebene E konstruieren, die sowohl g und P enthält.

Zu Frage 1: Nein. a-p ist genauso geeignet wie p-a. Grund: Wenn man a-p durch p-a ersetzt, muss man t durch -t ersetzen, um auf den gleichen Punkt zu kommen. t durchläuft alle Zahlen. Wenn t eine Zahl ist, dann ist auch -t eine Zahl.

Zu Frage 2: Ja. Jeder Punkt der Ebene ist als Stützvektor geeignet, also auch P.

Zu Frage 3: Ja. Man muss zeigen, dass
- P in E liegt.
  Das gilt, denn wenn man s=0, t=-1 in die Ebenengleichung einsetzt, erhält man P..
- alle Punkte von g in P liegen.
  Das gilt, denn: Sei x in g beliebig.
  Dann gibt es s mit x=(0;3;0)+s*(3;4;0).
  Dieses s und t=0 in die Ebenengleichung eingesetzt ergibt x.
  Also liegt x in E. Also liegt g in E.
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