Was ist dran an der Cantor-Kritik?

Erste Frage Aufrufe: 797     Aktiv: 09.05.2022 um 11:23
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Wenn alle Brüche der Matrix
 
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

Nummeriert werden können, dann müssen auch alle in die erste Spalte einrücken können, indem sie gegen die dort stehenden ausgetauscht werden, so dass keiner übrig bleibt. Aber bei keinem Austausch wird ein Feld der Matrix geräumt.

Alternativ müssten auch die X in der Matrix 

XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
...

so verteilt werden können, dass sie alle Felder der Matrix bedecken. Das ist scheinbar ebenfalls unmöglich.


EDIT vom 08.05.2022 um 17:19:

Hier komme ich nicht weiter:
Wenn alle positiven Brüche m/n nach Cantors Vorschrift
k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m
nummeriert werden, dann ergibt sich die Folge
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...

Setzt man aber die natürlichen Zahlen zur Nummerierung zuerst in die erste Spalte der Matrix
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...
ein, dann entspricht diese Nummerierung der Verteilung der X in

XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
...

über die gesamte Matrix. In der Cantorschen Reihenfolge ergeben sich die Permutationen

XXOOO...
OOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
...

d.h. die 1 bleibt auf 1/1 liegen und die 2 wandert von 2/1 auf 1/2. Dann wird die 3 zur Nummerierung des Bruchs 2/1 benutzt

XXOOO...
XOOOO...
OOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
...

und so geht es weiter. Zwar werden alle Brüche der Folge 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ... in dieser Reihenfolge nummeriert, aber es ist klar, dass die Menge der nicht nummerierten Brüche (hier durch die O symbolisiert) sich niemals ändern kann, über alle unendlich vielen Permutationen. 

Ich verstehe das einfach nicht.

 

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Punkte: 20

 
Das ist nicht scheinbar, sondern ganz bestimmt unmöglich. Das Matrix-Modell gibt exakt die Cantorsche Abzählung wieder. Die Cantor-Verteidiger haben keine Argumente, weshalb sie beleidigend werden (schwurbeln, Schwurbelmodell) oder das Thema zu unterdrücken versuchen (Frage melden 2).   ─   wm 03.05.2022 um 13:32
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Was genau soll die Cantor-Kritik sein?

Wäre vielleicht sinnvol wenn du diese kurz erwähnst.

 

"Nummeriert werden können, dann müssen auch alle in die erste Spalte einrücken können, indem sie gegen die dort stehenden ausgetauscht werden, so dass keiner übrig bleibt."

Dieser Satz ergibt für mich nicht so arg Sinn.

Aber basierend auf den Folgesätzen sagst du, dass man Kram hin und her tauschen kann und nichts verschwindet.

Was per se auch stimmt.

 

Mal ein Beispiel, das nicht 2 dimensional ist:

Gegeben die Zahl 0.2

bzw. konkret ihre Nachkommazhalenfolge (wo die 1. Ziffer eben 2 ist und danach nur Nullen.

Nun kannst du natürlich bei 0.20000...

die 1. mit der 2. NK Stelle tauschen, dann hast du 0.02000..

genau kannst du mit Vertauschen direkter Nachbaren die 2 beliebig weit "nahc rechts schieben".

Für jede x beliebige (endliche) zahl n kannst du mit ca. n-1 direkten Nachbar-Vertauschungen die 2 dahin bringen.

Visuell ist die 2 dann  nach bspw. 1 Million Vertauschungen ziemlich weit rechts.

Aber da ist sie noch.

Und sie wird auch nie rechts rausfallen.

 

Nach "unendlich vielen Vertauschungen" ist sie unendölich weit rechts und man könnte sagen, sie ist faktisch nicht mehr da.

Das sind aber Aussagen über (hinsichtlich divergenz fragwürdiger) Grenzwerte.

Real erreichst du die nie.

Die 2 wird immer da sein, nur eben beliebig weit rechts.

 

Genauso kann man bei deiner Matrix (sieht zumindest einer Matrix ähnlich, die Anordnung) kreuz und quer hin und hertauschen.

Ich behaupte aber sogar fast dass du es nicht fertig brignst bspw. die 1. und 2. Zeile komplett miteinander zu tauschen,

denn es sind ja endlich viele Einträge und daher ist das dann ein nicht erreichbarer Grenzwert.

Aber wie gesagt, mit endlich vielen Shcritten kannst du endlich viele Vertauschungen machen, auch 1000000000000000 viele Vertauschungen nach Laune, aber verschwinden tut da nix.

 

Ansosnten müsstest du mal kurz erläutern was die Cantor Kritik eigentlich sein soll,

denn rein die Aussage dass man durch viele Vertauschungen was entfernenkann, ist Quatsch.

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Student, Punkte: 304

 
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Du hast recht, man müsste alle Brüche in die erste Spalte einfügen können, ebenso wie man die natürlichen Zahlen aus der ersten Spalte über die gesamte Matrix verteilen können müsste, wenn Cantors Folge
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1, ...
alle Brüche enthalten würde.
Das ist aber nicht der Fall. Wie Du richtig bemerkt hast, verschwindet niemals ein O (nicht indizierter Bruch) und kein X (Index) kommt hinzu. Es wurde zwar in der ersten Antwort bemerkt, dass ein O verschwinden könnte, aber das kann keinesfalls für unendlich viele gelten. Denn die Abzählung ist ein linearer Prozess. Also müsste eine der Spalten 2 bis oo als erste fertig indiziert sein. Dann wären aber bereits unendlich viele Indizes vergeben - und mehr gibt es nicht.   ─   wm 28.04.2022 um 12:49
1
Auch im eindimensionalen Beispiel kann man mit unendlich(!) vielen Vertauschungen auch unendlich viele Zahlen eliminieren!
Beispiel: seien alle ungeraden Zahlen mit "O" und alle geraden mit "X" markiert. In jeder Vertauschung vertauschen wir jeweils das erste Paar wo ein "X" rechts von einem "O" steht:

OXOXOXOXOXOXOXOX...
XOOXOXOXOXOXOXOX...
XOXOOXOXOXOXOXOX...
XXOOOXOXOXOXOXOX...
XXOOXOOXOXOXOXOX...
XXOXOOOXOXOXOXOX...
XXXOOOOXOXOXOXOX...
XXXOOOXOOXOXOXOX...
...
Hier sollte das Schema nun erkennbar sein, und auch, dass nach weiteren unendlich vielen Schritten dieses Schemas ausschließlich "X" übrig blieben.   ─   mathe42 28.04.2022 um 20:19
1
Die Abzählung ist ein linearer Prozess. Es gibt hier keine Verzahnung wie in XOXOXO... . Also müsste eine der Spalten 2 bis oo als erste fertig indiziert sein. Dann wären aber bereits unendlich viele Indizes vergeben - und mehr gibt es nicht.   ─   wm 28.04.2022 um 20:34
1
Woher beziehst du diese seltsamen Annahmen? Unter den in meinem letzten Beispiel eliminierten "O"-Zahlen gibt es unendlich viele reine 3er-Potenzen(mit exponent>0) und davon disjunkt unendlich viele reine 5er-Potenzen(mit exponent>0). Beide dieser Teilmengen (und ditto für jede weitere Primzahl als Basis) werden vollständig eliminiert, und zwar genauso "verzahnt", wie du es für irgendwelche Spalten der Matrix ausschließen willst.   ─   mathe42 28.04.2022 um 20:41
3
Es wird überhaupt nichts eliminiert! Doch sobald ein einziges O eliminiert wäre, wären unendlich viele Schritte vollzogen. Damit wäre jede Möglichkeit für weitere Verluste entfallen. In der Matrix aller positiven Brüche sind überdies unendlich viele unendliche Spalten zu leeren. Aber mehr als einmal unendlich viele Transpositionen sind nicht möglich.   ─   wm 28.04.2022 um 22:36
1
Vielleicht sollten wir mal klarstellen, was es mit dem "Eliminieren" genau auf sich hat.

Selbstverständlich kann niemand (Chuck Norris mal ausgenommen) einer Folge bis zum Ende folgen, und zwar ganz einfach deswegen, weil die Folge gar kein Ende hat.

Aber wie sollte man denn nun feststellen, wo diese Folge "hinführt"?

Nun, vergleichen wir es doch mal wieder mit der Folge (1/n): Was der Grenzwert nun ist, vermutet man mit etwas Erfahrung oft recht schnell, aber das muss dann erst einmal bewiesen werden. Da gibt es so "Konvergenz-kriterien" und wenn diese für die Folge und den vermuteten Grenzwert erfüllt sind, dann weiß man, dass die Vermutung richtig war.

Für (1/n) vermutet man dann mal den Grenzwert 0, und ein so ein Konvergenz-kriterium ist, dass wenn man für jeden positiven Abstand zum Grenzwert immer einen Index berechnen kann, sodass alle Folgenglieder nach diesem Index näher am Grenzwert dran sind, dann ist 0 tatsächlich der Grenzwert der Folge (1/n): Dabei braucht man diesen Abstand gar nicht explizit angeben. Sei a so ein Abstand, dann gilt für n0 = "die kleinste natürliche Zahl größer als 1/a", dass beginnend mit n0 jedes weitere Folgenglied einen kleineren Abstand zum Grenzwert hat, als das geforderte a. Testweise kann man z.B. a= 0.0000000000000000000000000000000000000000001 setzen, aber im wesentlichen geht es darum, dass man für a nur fordert, dass es reell und größer 0 ist, und alleine daraus ergibt sich logisch, dass daraus prinzipiell so ein n0 berechnet werden könnte, wenn nur das Universum groß genug wäre um die Rechnung durchführen zu können. Lassen wir das Universum mit den Beschränkungen aus dem Spiel, dann kann man auf den logischen Schluß bauen, dass es zu jeder reellen Zahl a > 0 ein n0 gibt, sodass ab diesem n0 jedes Folgenglied kleiner als a ist.

Bei Matrixfolgen ist dieser "skalare" Grenzwert natürlich nicht anwendbar - da gibt es andere Kriterien.
Man verlangt etwa, dass man zu jedem beliebigen Bruch in der Matrix einen index n0 finden kann, sodass ab diesem Index n0 alle weiteren Matrizen diesen Bruch z.B. in der ersten Spalte haben, oder die Position des Bruches mit einem "X" bedeckt haben.

Genau diese Kriterien sind beweisbar erfüllt, auch wenn der Beweis etwas mehr "Formel-schupferei" bedeutet: ein Bruch p/q hat nach Cantorscher Abzählungsfunktion einen Abzählungsindex, und dieser dient als das n0. Es ist dann egal, ob die p und q des bruches p/q so groß sind, dass man sie nicht auf ein Blatt Papier schreiben kann, es ist stets gesichert, dass die Cantorsche Formel diesem p und q ein n0 zuordnet, das man dann wohl erst recht nicht auf ein Blatt Papier schreiben kann, aber dieses n0 ist dann der gesuchte Index, ab dem in jeder weiteren Matrix der Folge dieser Bruch in die erste Spalte verschoben ist, oder ein "X" auf sich liegen hat, das in weiterer Folge nicht mehr wegkommt.

Die Essenz, an der zu verstehen "Cantor-kritiker" jämmerlich scheitern, ist, dass man diese Brüche und Erst-Indizes gar nicht aufschreiben muss. Man braucht sich auch keine Gedanken um die unendlich vielen weiteren Brüche nach jedem, den man grad mit p/q assoziiert, machen, denn auch diese sind wiederum Brüche, haben daher eine Zähler/Nenner-darstellung, und für diese zwei Zahlen liefert die Cantorsche Funktionen einen Wert, und damit weiß man, dass jeder Bruch, aufschreibbar oder nicht, einen Index hat, ab dem er in jeder weiteren Matrix "abgefrühstückt" ist. Es kann also keinen Bruch geben, der sich ewig gegen ein "X" oder gegen die Verschiebung in die erste Spalte wehrt.

Zurück zur Elimination: Wenn man zu jeder "Distanz" eines Bruches p/q(mit "O") vom linksoberen Eck einen Index n0 angeben kann, sodass in jeder Matrix der Folge ab dem n0'ten Folgenglied jedes der "O"s einen größeren Abstand als die geforderte Distanz hat, dann bedeutet das, dass diese "O"s nirgendwo "sesshaft" werden, und das kann man dann umgangssprachlich so ausdrücken, dass "nach unendlich vielen der "X"/"O"-Vertauschungen keines der "O" übrig ist - also jedes eliminiert ist.

Die von "wm" angeführte bizarre Interpretation, wonach zuerst alle Vertauschungen und danach erst die Eliminationen der "O" hintennach passieren könnten, beruht wohl auf einem sehr eigenartigen gedanklichen Modell der natürlichen Zahlen, die da dann irgendwo mal zu Ende sind, und dann passiert was anderes... Die natürlichen Zahlen sind aber nicht irgendwo "zu Ende", da diese Folge eben "un"endlich ist. Grenzwerte sind keine Zauber-aktionen, die "nach allen" Zahlen passieren, sondern sie lassen sich sauber und zauberei-frei aus den erwähnten Konvergenz-kriterien beweisen, (oder eben nicht, wenn man mit einem falschen Wert als Grenzwert losstartet).   ─   mathe42 29.04.2022 um 00:17
1
Die natürlichen Zahlen sind nirgendwo zu Ende. Deswegen wird auch der Grenzwert 0 der Folge (1/n) niemals erreicht. Aus demselben Grund wird auch im aktuellen Beispiel kein Matrix-Grenzwert erreicht. Nicht einmal ein einziges O wird eliminiert. Wer die Abzählung aller positiven Brüche behauptet, behauptet aber, dass alle positiven Brüche abgezählt werden, und nicht, dass irgendwelche Grenzwerte existieren.

Wer die Abzählung aller positiven Brüche behauptet, übersieht, dass auf jeden abgezählten Bruch der potentiell unendlichen Folge 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1, ... noch aktual unendlich viele Brüche folgen - eine Situation, die sich niemals, also unter gar keinen Umständen ändert und nichts mit Grenzwerten zu tun hat.   ─   wm 29.04.2022 um 13:45
1
Die Abzählung nach Cantor ordnet JEDEM Bruch einen Abzählungsindex zu.

Dass du diese Abzählung durch eine Folge (von Matrizen) annäherst, darf dich nicht wundern lassen, warum in dieser *Annäherung* die komplette Abzählung eben nicht "erreicht" wird.
   ─   mathe42 29.04.2022 um 15:03
1
Es handelt sich nicht um eine Annäherung, sondern um ein Modell, das präzise Cantors Vorgehen simuliert. Bei Cantor wird lediglich die Herkunft und Beschränkung der Menge der Indizes nicht thematisiert.   ─   wm 29.04.2022 um 22:48
Die in der Frage skizzierte Matrix-Folge ist ein Modell für eine Funktionen-Folge, die Cantors Abzählungs-Funktion "annähert", aber eben nicht "erreicht".

Während Cantors Abzählungsfunktion *jedem* Bruch einen eindeutigen Index zuordnet, modelliert die n'te Matrix in der Matrix-Folge lediglich eine Funktion, die den ersten n Brüchen jeweils eine Position in der ersten Spalte zuordnet, und den restlichen entweder ihre ursprüngliche, oder eine andere, temporäre Position in der Matrix.

Was auf der falschen Annahme aufbaut, diese Matrizen-Folge "wäre bereits Cantors Abzählung", ist mathematisch wertlos, gerade so, als wäre es aus "1+1=3" gefolgert worden.
   ─   mathe42 01.05.2022 um 02:08
Sorry allerseits, ich steige immer noch nicht durch worum es hier eigentlich geht.
Tatsache ist, der Ausdruck "Hier sollte das Schema nun erkennbar sein, und auch, dass nach weiteren unendlich vielen Schritten dieses Schemas ausschließlich "X" übrig blieben. "
Impliziert schon dass es um Grenzwerte geht, die nie erreicht werden können.
Denn unendlich viele Schritte kann man nicht mahcen, nur endlich viele, auch 1000000000000 Schritte, aber unendlich ist unmöglich.

Ansosnten ist mir nicht klar wie man hier durch Vertauschen was eliminieren will.
Man kann mit entsprechend vielen Partnervertauschungen eine gewisse Zahl (oder Bruch) beliebig weit nahc rechts oder unten schieben.
Aber verschwinden tut da nichts, man sieht es nur nicht mehr wenn man sich die ersten Paar Sachen anguckt.
Klar, iM Grenzwert "verschwindet" es womöglich, aber einen grenzwert kann man nicht erreichen sonst wärs ja keiner.
Ansosnten weiß ich nicht worum es hier überhaupt geht.

Cantors Schema ist doch idiotensicher, es gibt auch Formeln wie man die ganzen (a/b) Brüche indizieren kann in eindeztiger Weise.
Was ist nun also eigentlich die Frage, bzw. was sagen diese ominösen "Cantor Kritiker", die dauernd erwähnt werden, deren Kritik aber niemand mal nennt?   ─   densch 02.05.2022 um 15:07
Cantor-Kritiker sind Leute, die die heutzutage übliche Handhabe mit unendlichen Mengen, Funktionen(darunter Injektionen, Surjektionen) auf unendlichen Mengen, mental nicht fassen wollen(oder können).

Jedem mit Mengenlehre Vertrauten ist es selbstverständlich, dass eine Funktion f von N nach N\{1} mit der Formel f(n)=n+1 eine Bijektion ist (sofern N hier mit 1 beginnt), und dass N und N\{1} trotz ihrer "echte Teilmenge"-Beziehung, dennoch gleichmächtig sind.

Für jemanden wie "wm" ist alles ganz anders, weil irgendwie für jede Zahl, deren "+1" man berechnet, noch weitere unendlich viele Zahlen noch nicht berechnet wären. Schwurbelei hoch Bockmist mit Senf

Auch "Hilberts Hotel" wird von "Cantor-Kritikern" abgelehnt, aber nicht nur dass es real wäre - das wissen auch Mathematiker, dass es das im realen Universum nicht gibt - sondern auch im Kontext der puren theoretischen Mathematik würde einer wie "wm" davon ausgehen, dass ein zusätzlicher Gast zwangsläufig einen anderen Gast verdrängen würde.   ─   mathe42 02.05.2022 um 15:42
Du solltest Deine beleidigende Diktion überprüfen, bzw. sollte ein Moderator das tun. Dass manche Funktionen als Bijektionen angesehen werden, ist noch kein Grund, es nicht zu überprüfen. In jeder Wissenschaft wird jede noch so stark geglaubte Theorie immer wieder überprüft. Warum sollte es in der Mathematik verboten sein?. Wie das gerade diskutierte Modell, das die Cantorschen Vorschrift für die Abzählung der positiven Brüche ganz präzise wiedergibt, zeigt, liegt hier keine Bijektion vor. Die Anzahl der nicht indizierten Brüche ist in jedem der unendlich vielen Schritte konstant und größer als Null, ja sie ist sogar unendlich.   ─   wm 03.05.2022 um 13:45
Eine Überprüfung ist jederzeit möglich - Die Injektivität von "f: N->N\{1}: f(n)=n+1" ist direkt aus den Peano-Axiomen abgeleitet, die Surjektivität ergibt sich daraus, dass jedes n in N, außer der 1 Nachfolger einer natürlichen Zahl ist.

Wer die Bijektivität einer Funktion auf der Basis abstreitet, dass es natürliche Zahlen gäbe, die in die Formel nicht eingesetzt werden können, dann ist das keine Überprüfung der Bijektivität, sondern Trollerei - unter solchen Voraussetzungen wäre nicht einmal die Identitäts-funktion einer beliebigen unendlichen Menge auf sich selber bijektiv.

Und wenn die Moderatoren eine Ahnung von Mathematik haben, und die Entscheidung nicht darauf abwälzen, wer mehr seiner Freunde (oder Zweit/Dritt/...-accounts) zum down-/upvoten motivieren kann, dann würden sie vermutlich die Frage insgesamt löschen.   ─   mathe42 03.05.2022 um 15:10

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Zwischen Analysis und Mengenlehre gibt es einen prinzipiellen Unterschied: In der Analysis sucht und beweist man Grenzwerte, in der Mengenlehre möchte man alle Terme zweier Mengen paaren, die vor dem möglichen Grenzwert liegen. Wie das Thema der Frage zeigt, ist das nicht möglich. Nach jedem identifizierten Paar, zum Beispiel (n, q) aus natürlicher Zahl n und Bruch q, gibt es noch aktual unendlich viele natürliche Zahlen und aktual unendlich viele Brüche. Es ist keinesfalls möglich, diese Paarung zu einem Ende zu bringen. Wie aber die Frage zeigt, ist es beweisbar, dass die Menge der ungepaarten Brüche in jedem endlichen Schritt dieselbe bleibt. Damit ist die Ungleichzahligkeit von Brüchen und natürlichen Zahlen erwiesen. Was über mögliche Grenzwerte zu sagen oder zu vermuten ist, hat für die eigentliche Frage keine Bedeutung. Damit ist die Cantor-Kritik als berechtig nachgewiesen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 40

 
"Die Frage zeigt ..." - Da Sie, "wm", offenbar die "Inspiration" zu dieser Frage geliefert haben (Zitat: "Ich vermute stark, dass die Frage aus meiner Arbeit resultiert."), ist es äußerst unredlich, diese Frage als Legitimation Ihrer Thesen zu verkaufen. Das wäre ein klarer Zirkelschluss, oder sehen Sie das ernsthaft anders?

Bereits die Phrase "diese Paarung zu einem Ende zu bringen" beweist vollkommenes Unverständnis von der Materie. Bei unendlichen Folgen wird ohnehin nichts "zu Ende" gebracht, weil es kein Ende gibt. Cantors Abzählungsfunktion ist *keine* "Folge von Vertauschungen in einer Matrix", sondern eine Formel, die zu einem beliebigen Bruch eine für diesen Bruch eindeutige natürliche Zahl berechnen lässt.

Die einzige *Folge*, die hier überhaupt mitspielt, ist die Umkehrfunktion von Cantors Abzählungsfunktion, da diese eine Funktion von den natürlichen Zahlen zurück auf die Menge der Brüche ist, und Folgen generell Funktionen von den natürlichen Zahlen in eine beliebige Zielmenge sind.
  ─   mathe42 30.04.2022 um 23:24
@Cauchy Nein, das reicht keineswegs, weil jede natürlich Zahl nur endlich viele Vorgänger, aber unendlich viele Nachfolger besitzt. Die Behauptung ist aber, dass alle Brüche und alle natürlichen Zahlen Paare bilden. Sie wird durch die Matrixfolge falsifiziert, weil in jedem Schritt die Menge der natürlichen Zahlen vollständig ist und sich nicht ändert und die Menge der indizierten Brüche ebenfalls vollständig ist und sich nicht ändert und die Menge der nicht indizierten Brüche ebenfalls unverändert ist und bleibt. Deswegen reicht das Argument für "jede natürliche Zahl" nicht aus.   ─   wm 01.05.2022 um 13:53
@mathe42 Mein Beweis bedarf keiner Bestätigung. Die Paarung müsste nach Cantor wie ein Reißverschluss zu Ende gebracht werden. Denn Cantor selbst hat das vorgeschrieben: "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen ..., so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, Ges. Werke, p. 119] Ganz oder gar nicht. Da gibt es nichts zu diskutieren. Es geht schließlich um vollendete Unendlichkeit: "Transfinitum = Vollendetunendlichem = Unendlichseiendem = kategorematice infinitum" [Cantor, Ges. Werke, p. 391], Mein Beweis zeigt, dass die Menge der nicht indizierten Brüche in allen unendlich vielen möglichen Schritten unverändert bleibt - und danach kann nichts mehr indiziert werden. Grenzwerte sind für die Bildung des Reißverschlusses ohne Belang.   ─   wm 01.05.2022 um 14:42
Jetzt ist das Bild der "Cantor-Kritiker" so gut wie komplett:

1.) zuerst eine Folge aus dem Hut ziehen und dann aus dem "nicht-Erreichen" des Grenzwerts innerhalb der Folge die Existenz des Grenzwerts selbst zu bezweifeln.

2.) Die genaue Ausdrucksweise von Cantor zitieren, ohne zu beachten, dass Cantor damals in einem ganz anderen Umfeld kommunizieren musste. Reißverschlüsse sind für die Mathematik mittlerweile ohne Belang.

Es wäre an der Zeit, für den Fragesteller (zumindest, sofern es nicht nur ein Zweitaccount von "wm" ist) den Unsinn hinter den gezogenen Schlüssen aus den Matrixfolgen zu erkennen, die "Arbeit" des wm, die dieses Thema vermutlich (wm's Vermutung) aufgeworfen hat, wieder zurück unter das zu kurze Tischbein zu legen, und sich auf dem nun nicht mehr wackeligen Tisch nach seriöser mathematischer Literatur umzusehen - dann könnte sich auch "wm" freuen, dass seine Arbeit zu einer stabilen Grundlage für mathematisches Studieren beitrug.   ─   mathe42 02.05.2022 um 13:34
Was Cantor sagte hat auch nach 150 Jahren nicht seine Bedeutung gewechselt. Und das hat er vielfach wiederholt: Die Zuordnung (Bijektion und Reißverschluss kannte er noch nicht) Element für Element:

"gegenseitig eindeutige und vollständige Korrespondenz" [Cantor, p. 238]

"Die sämtlichen Punkte l unsrer Menge L sind also in gegenseitig eindeutige und vollständige Beziehung zu sämtlichen Punkten f der Menge F gebracht," [Cantor, p. 241]

"Zwei wohlgeordnete Mengen M und N heissen von gleichem Typus oder auch von gleicher Anzahl, wenn sie sich gegenseitig eindeutig und vollständig unter beidseitiger Wahrung der Rangfolge ihrer Elemente auf einander beziehen, abbilden lassen;" [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]

"Zwei bestimmte Mengen M und M1 nennen wir äquivalent (in Zeichen: M ~ M1), wenn es möglich ist, dieselben gesetzmäßig, gegenseitig eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuzuordnen." [Cantor, p. 412]

Da gibt es also keinerlei Zweideutigkeiten bei "dem Gedanken, das Unendlichgroße [...] auch in der bestimmten Form des Vollendet-unendlichen mathematisch durch Zahlen zu fixieren" [Cantor, p. 175]

Deswegen ist die Folge das Entscheidende. Grenzwerte sind belanglos. Diese Folge führt aber im gegenwärtig diskutierten Modell nicht zu einer Bijektion der beiden Mengen.   ─   wm 02.05.2022 um 14:36
"gesetzmäßig", also etwa durch ein Rechengesetz, das angibt, wie man zu einem beliebigen Bruch den Index berechnet.   ─   mathe42 02.05.2022 um 15:16
Gesetzmäßig, wird hier vorgegangen: Für jeden Bruch m/n liefert Cantors Formel
k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m
einen Index k. Die daraus resultierende Folge von Brüchen ist diese
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1, ... .
Sie enthält scheinbar alle positiven Brüche.
Trotzdem bleibt die Anzahl der nicht indizierten Brüche konstant, für jedes n. Das kann man nicht leugnen und erst recht nicht mit Grenzwerten vertuschen.   ─   wm 02.05.2022 um 21:13
@densch: Ich will versuchen, ausführlich auf Deine Fragen einzugehen.

Unendlich viele Schritte kann man nicht machen, aber Cantor behauptet es: "Zwei bestimmte Mengen M und M1 nennen wir äquivalent (in Zeichen: M ~ M1), wenn es möglich ist, dieselben gesetzmäßig, gegenseitig eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuzuordnen." [Cantor, p. 412] Vollständig ist hier das Schlüsselwort. Denn Cantor setzt die vollendete Unendlichkeit voraus.

Cantor will nichts vertauschen. Er verwendet die natürlichen Zahlen k als Indizes, ohne sich über deren Menge Rechenschaft zu geben. Ich entnehme sie der ersten Spalte der Matrix

1/1, 1/2, 1/3, ...
2/1, 2/2, 2/3, ...
3/1, 3/2, 3/3, ...
4/1, 4/2, 4/3, ...
...

Sie werden nach Cantors Vorschrift zur Indizierung der Brüche m/n verwendet,

k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m,

denn würde man sie in der ersten Spalte als Indizes der Ganzzahlbrüche k/1 stehenlassen, so wäre die Unmöglichkeit, alle Brüche zu indizieren, offensichtlich. Deswegen schiebt man sie nach der obigen Formel auf die Brüche

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ... .

Das erweckt den Anschein, als würden alle Brüche indiziert. Aber tatsächlich bleiben bei dieser Verschiebung in jedem Schritt genau so viele Brüche ohne Index wie am Anfang.

"Cantors Schema ist doch idiotensicher", ja so scheint es. Und deswegen hat sich auch bisher niemand darum gekümmert, es nachzuprüfen. Würde es funktionieren, dann müsste es möglich sein, die X der Matrix

XOOO...
XOOO...
XOOO...
XOOO...
...

so zu verschieben, dass keine O übrig bleiben. Das ist aber nicht möglich. In jedem nachprüfbaren Schritt jedenfalls haben sich die Zahlen nicht geändert.
   ─   wm 02.05.2022 um 21:37
@Cauchy: Natürlich kann man Cantors Schema erweitern. Das Prinzip ist aber an Cantos Originalargument einfacher erkennbar. Jeder Bruch der Matrix

1/1, 1/2, 1/3, ...
2/1, 2/2, 2/3, ...
3/1, 3/2, 3/3, ...
4/1, 4/2, 4/3, ...
...

muss einen Index erhalten, auch die Brüche der ersten Spalte. Die Indizes legen wir zunächst in die erste Spalte, indem wir eine Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Ganzzahlbrüchen herstellen n <--> n/1. Damit is sichergestellt, dass eine unendliche Folge oder geordnete Menge natürlicher Zahlen in der Ausgangsposition vorhanden ist. Nun werden diese Indizes k nach Cantors Vorschrift

k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m

auf die Brüche m/n verteilt. Dabei ergibt sich die Reihenfolge

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ... .

Es hat den Anschein, als würden hier alle Brüche aufgeführt. Aber bei jeder Indizierung bleibt die Anzahl der Nichtindizierten Brüche konstant, da ja nur Indizes verschoben werden. Diese Tatsache ist für alle Schritte unverändert der Fall und nicht wegzuleugnen.
   ─   wm 02.05.2022 um 21:46
"wm" behauptet: "Trotzdem bleibt die Anzahl der nicht indizierten Brüche konstant, "
Das trifft aber nur für sein Matrixfolgen Modell, wo die Cantorsche Abzählung *angenähert*, aber eben nicht einbezogen wird, zu(*).

Die Folge der Brüche (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...), die technisch gesehen die Umkehrfunktion der Cantorschen Vorschrift "k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m, mit m=Zähler, n=Nenner des Bruches" ist, enthält *alle* Brüche in ihrer Wertemenge, genauso, wie die Folge (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...) - anders als jedes initiale Tupel davon - *alle* natürlichen Zahlen in der Wertemenge enthält.

Der Klarheit für quer-eingestiegene Mitleser zuliebe ist noch festzuhalten, dass hier von "Brüchen" die Rede ist, und zwar eigentlich nur von positiven Brüchen, und diese auch nicht "gekürzt" sein müssen - genau genommen ist so ein "Bruch" in diesem Kontext eben einfach ein Paar zweier natürlicher Zahlen, die als Quotient aufgeschrieben werden, ungeachtet des Ergebnisses der durch diese Notation implizierten Division.

Zu einer Abzählung von Q (was dann negative Brüche inkludiert, aber kürzbare Brüche exkludiert) wären da noch einige Schritte offen, was aber egal ist, da in der Schwurbelwelt des "wm" die Probleme ja bereits bei der Abzählung von Paaren natürlicher Zahlen - jeweils als Bruch notiert - bzw noch früher: bereits beim Verständnis des Konzepts einer Folge selbst auftreten.

(*): diese "Konstanz" des unendlichen Restes, also, dass tatsächlich auf *jeden* Index unendlich viele weitere natürliche Zahlen folgen, führt unter den "Cantor-Kritikern" oft zu einem Fehlschluss: Weil es eben zu *jeder* natürlichen Zahl unendlich viele Nachfolger gibt, wird von diesen Leuten fernab mathematischer Logik gerne geschlossen, dass es da so etwas wie einen Grundstock von unendlich vielen natürlichen Zahlen gäbe, die ihre Rolle exklusiv aufs "Nachfolger sein" beschränken würden, selber aber von Aussagen über "jede"/"alle" nicht inkludiert würden. Wie grotesk dieser Unsinn ist, brauche ich hier wohl nicht zu erklären. Wessen mathematische Laufbahn bis dato von "Cantor-Kritikern" verschon geblieben ist, mag sich glücklich schätzen, und diese Frage einfach ignorieren. Wer hingegen den Nervenkitzel ("Trollt der nur, oder meint der das ernst") nicht missen will, wird hier wohl noch einige Schwurbeleien genießen können. Den "wm" kenne ich nicht persönlich, aber andere ziehen das Geschwurbel schon seit 30+ Jahren durch - vielleicht ist aber der "wm" ja genau einer von diesen.   ─   mathe42 03.05.2022 um 11:50
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\(\mathbb{N}_{>0}\times \mathbb{N}_{>0}\to \mathbb{N}_{>0}, (a,b)\mapsto 2^a\cdot 3^b\) ist injektiv!!!!   ─   mathejean 03.05.2022 um 12:16
@mathe42: Die Cantorsche Abzählung wird nicht "angenähert", sondern präzise dargestellt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass als Ausgangspunkt die Ganzzahlbrüche als vollständig indiziert vorausgesetzt werden. Damit wird die Indexmenge festgelegt. Bis zu jeder Indizierung eines Bruches ist keine Divergenz vorhanden - und mehr als jeder Index k wird auch von Cantor nicht vergeben:

k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m.   ─   wm 03.05.2022 um 13:58
@mathejean: Die Cantorsche Abbildung wird durch das Matrixmodell perfekt modelliert. Hier die Transposition aller Brüche der Matrix

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

nach Cantors Vorschrift

k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...

in die erste Spalte. Die ersten vier Tranpositionen sind hier dargestellt

1/1, 2/1, 1/3, 1/4, ... 1/1, 3/1, 1/3, 1/4, ... 1/1, 3/1, 4/1, 1/4, ... 1/1, 3/1, 4/1, 1/4, ...
1/2, 2/2, 2/3, 2/4, ... 1/2, 2/2, 2/3, 2/4, ... 1/2, 2/2, 2/3, 2/4, ... 1/2, 5/1, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ... 2/1, 3/2, 3/3, 3/4, ... 2/1, 3/2, 3/3, 3/4, ... 2/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ... 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ... 1/3, 4/2, 4/3, 4/4, ... 1/3, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ... 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ... 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ... 2/2, 5/2, 5/3, 5/4, ...
... ... ... ...

Die restlichen Spalten der Matrix bleiben unverändert gefüllt. Könnten alle Brüche in die erste Spalte gebracht werden, müssten die anderen Spalten leer werden. Das ist für keine Transposition der Fall. Sollte man dieses interessante Ergebnis einfach totschweigen?
   ─   wm 03.05.2022 um 14:07

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In meiner anderen Antwort habe ich mich zu sehr auf das "Ziel" der Folge konzentriert.

Wenn man lediglich die Folge der Matrizen, (mal mit Vertauschungen, mal mit "O"/"X")
betrachtet, dann ist klar, dass keine einizige dieser Matrizen Cantors Abzählung
repräsentiert.

Deswegen kann man auch sagen: in den Folgen selber "verschwindet" nichts, und
es wird innerhalb der Folge auch zu keinem Index die erste Spalte mit *allen* Brüchen
gefüllt. - ebenso, wie eben auch kein Element der Folge (1/n) mit der 0 identisch ist.

Daraus jedoch eine Aussage über die orignale (nicht erst angenäherte) Abzählung
abzuleiten ist das Hobby der "Cantor-Kritiker". Diese Aussagen beruhen statt auf
Definitionen und Axiomen dann lediglich auf der persönlichen Intuition, die dann
nicht mehr viel mit Mathematik zu tun hat.

Damit kann sich jeder beschäftigen, wenn er will, aber eine etwaige Erwartung,
damit mal in der Mathematik ernstgenommen zu werden, wird enttäuscht werden.

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"es wird innerhalb der Folge auch zu keinem Index die erste Spalte mit *allen* Brüchen
gefüllt", Dann wird sie niemals gefüllt, denn mehr als Manipulationen, die in der Folge mit endlichen Indizes stattfinden, gibt es nicht.

Die originale Abzählung 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ... erfolgt so:

XOOO...
XOOO...
XOOO...
XOOO...
...

XXOO...
OOOO...
XOOO...
XOOO...
...

XXOO...
XOOO...
OOOO...
XOOO...
...

XXXO...
XOOO...
OOOO...
OOOO...
...

und immer so weiter. Niemals wächst die Zahl der X oder schrumpft die Zahl der O.
   ─   wm 29.04.2022 um 22:43
Danke für dieses explizit zusammengefasste Paradebeispiel der Schwurbelei, die man so oder ähnlich bei allen selbsternannten(*) "Cantor-Kritikern" beobachten kann:

1.) Je nach aktueller Windrichtung ersetzen sie mathematische Objekte durch Folgen(die zumeist das Objekt sogar tatsächlich als Grenzwert haben), um dann gleich darauf hinzuweisen, dass Objekt aber nun gar nicht in der Folge "erreichbar" ist. Anderswo habe ich zum Beispiel mal gelesen, dass die Dezimaldarstellung von 1/3 (also "null komma drei periodisch") eigentlich nur eine Folge (0, 0.3, 0.33, ...) wäre, und somit ja eigentlich den Wert von 1/3 gar nicht erreichte... - Wozu wird die Folge dann überhaupt ins Spiel gebracht???

2.) Sie lehnen mathematische Grenzwerte und formale Grenzwert-Kriterien ab - möglicherweise weil sie das Prinzip "für jedes x gibt es ein y, sodass...", das praktisch allen Konvergenz- und Divergenz-kriterien zugrunde liegt, einfach nicht auf die Reihe kriegen(**). Als Ersatz erfinden sie eigene Kriterien, anhand derer sie zu "beweisen" glauben, dass die Mathematik grundfalsch wäre. Aktuelles Beispiel: "Weil zu jeder endlich indizierten Matrix in der Folge (andere gibt es dort nun mal wirklich nicht) unendlich viele Brüche noch nicht erledigt(1.Spalte oder X) sind", folgern sie nach ihrem Gutdünken, dass die Abzählung von vornherein ein Unsinn wäre - Geradeso, also würde man die Existenz der 0 abstreiten, auf der Basis, dass sie von (1/n) nicht "erreicht" wird, denn nach deren Logik gäbe es bei jedem Stammbruch in der Dezimal-darstellung nach der ersten nicht-0-Ziffer noch unendlich viele weitere Ziffern... - eine Zahl mit ausschließlich 0ern als Ziffern ist dann in dieser verqueren Logik eigentlich ausgeschlossen. Zu ihrer Verteidigung beschränken sie sich darauf, dass die Folge den Grenzwert nicht "erreicht", was ja soweit richtig wäre, aber sie erkennen nicht die Unsinnigkeit dieses Arguments, wenn die 0 selber das Thema ist, und sie die Folge erst nachträglich dazu eingebracht haben.

(*): der Zusatz "selbsternannt" trägt dem Umstand Rechnung, dass man als echter Kritiker das kritisierte Objekt zumindest kennen und verstehen sollte.

(**) Dass sie dieses "für jedes x gibt es ein y, sodass..."-Prinzip nicht verstehen, äußert sich darin, dass sie mal ein y einfordern, das für alle x gelten müsse, und dann wieder behaupten, dass man gar nicht alle "x" benennen könnte - als käme es da auf mögliche Benennung der Werte von x und y an...   ─   mathe42 30.04.2022 um 11:19

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Der Kern hinter dieser Frage ist, dass eine *unendliche* Verkettung von Einzel-vertauschungen nicht zwingend eine Permutation sein muss, sondern, dass mit *unendlich* vielen Vertauschungen es auch möglich ist, Elemente zu eliminieren.

Ein viel leichter verständliches Beispiel wäre, von der Folge der natürlichen Zahlen der 1 ein "O" und allen anderen Zahlen ein "X" zuzuordnen, und dann sukzessive immer die 1 (mit dem "O") mit ihrem jeweils rechten Nachbarn zu vertauschen.

Hier wäre es nun offensichtlich, dass das "O" Vertauschung um Vertauschung endlos immer weiter nach rechts wandert.

Die Position des "O" wäre also nach n Schritten jene, wo ursprünglich (n+1) war. Damit ist ersichtlich, dass die Positionen-folge für "O" divergiert, sie also nach unendlich vielen Vertauschungen keinen Platz mehr in den natürlichen Zahlen hätte - mit anderen Worten "hinausgefegt" wäre.

Bei der Matrix ist dieser Sachverhalt bloß etwas verschwurbelter, damit man es nicht so leicht erkennen kann, aber letztlich  ist die Konstruktion auch dort so, dass die Positionsfolgen der "O" allesamt divergent sind.

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In jedem endlichen Schritt gilt die konventionelle Mathematik, d.h. das O verschwindet nicht. Und einen unendlichsten Schritt gibt es nicht. Zwar existieren Grenzwerte, aber sie werden nicht in Schritten erreicht. Und selbst wenn das O verschwurbelt abtauchen könnte, so wäre das für die unendlich vielen O in der Matrix, sicher nicht möglich.

Wäre es aber möglich, dann könnten nicht nur O, sondern auch X ohne Ende verschwinden und Cantors Abzählung wäre gegenstandslos, denn sie hätte gar kein Subjekt.   ─   wm 27.04.2022 um 21:06
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Was soll denn das für eine Logik sein? Das ist doch so, als würdest du "1/n=0" für ein endliches n erwarten. Wenn du eine korrekte Abzählung willst, dann nimm einfach die von Cantor. Wenn du sie durch eine Folge von Vertauschungen an einer Matrix annähern willst, dann wundere dich nicht, wenn die "O"-freie Matrix erst im Grenzwert auftritt.

Bei der Matrix wurde vom Fragesteller kein konkreter Algorithmus angegeben, was da genau womit vertauscht wird, aber es ist auch egal. Es gibt eine Kette von Vertauschungen, sodass die sich daraus ergebende Matrix-folge einen Grenzwert mit nur "X" hat. Das wiederum ist eben *möglich*, wie man im eindimensionalen Fall leicht erkennen konnte, und es müssen sich dazu lediglich für jedes "O" Element eine Positionsfolge ergeben, die jede Schranke ab einem (von der Schranke) abhängigen Index und allen späteren überschreiten - also eine Häufungspunkt-freie Divergenz.

Und selbstverständlich gibt es auch Vertauschungs-Folgen, die sämtliche "X" eliminieren, und eine Matrix mit ausschließlich "O" als Grenzwert haben.   ─   mathe42 28.04.2022 um 20:07
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Was soll das für eine Logik sein? Ganz einfache Logik: Wenn sich die Mengen der X und O in keinem der unendlich vielen endlichen Schritte ändern, dann sind sie konstant. Aber selbst wenn man behauptet, dass sich diese Mengen ändern können, dann sicher nicht aufgrund von Zauber oder Grenzwerten, sondern das könnte nur während der Abzählung als deren Resultat geschehen. Dann würden die O nicht plötzlich alle miteinander verschwinden, sondern eines nach dem andern. Doch sobald eines verschwunden ist, besitzt die Folge der Matrizen bereits unendlich viele Terme. Weitere Terme und damit weiteres Verschwinden sind nicht möglich.

Von Fragesteller wurde kein Algorithmus angegeben. Ich vermute stark, dass die Frage aus meiner Arbeit resultiert. Ich habe Cantors Algorithmus zugrundegelegt. Aber wie das Ergebnis zeigt, versagt jeder Algorithmus, so dass dessen Angabe irrelevant ist.

Und schließlich zum Argument, dass das Überschreiten jeder Schranke einen Grenzwert rechtfertigt: Jede Schranke ist endlich. Aber auf jede Schranke folgen noch aktual unendlich viele größere Zahlen. Ein Grenzwert mit verschwundenen O lässt sich daraus nicht ableiten.   ─   wm 29.04.2022 um 14:01
Die Thread kam wohl zurück, weil der user "user1096e6" seine Frage editiert hat.

Die neue Frage ändert nichts daran, dass jede seiner Matrizen jeweils nur ein initiales Tupel der Cantorschen Abzählungsfolge "modelliert", und deswegen jede einzelne Matrix *keine* komplette Abzählung der Brüche darstellt.

Gegen diese Erkenntnis ist "wm" aber immun, also wird der Thread wohl künftig immer wieder zurückkommen, mit irgendwelchen banalen Änderungen, die den Melde-grund nicht wirklich beheben.   ─   mathe42 09.05.2022 um 11:22

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