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Was genau soll die Cantor-Kritik sein?
Wäre vielleicht sinnvol wenn du diese kurz erwähnst.
"Nummeriert werden können, dann müssen auch alle in die erste Spalte einrücken können, indem sie gegen die dort stehenden ausgetauscht werden, so dass keiner übrig bleibt."
Dieser Satz ergibt für mich nicht so arg Sinn.
Aber basierend auf den Folgesätzen sagst du, dass man Kram hin und her tauschen kann und nichts verschwindet.
Was per se auch stimmt.
Mal ein Beispiel, das nicht 2 dimensional ist:
Gegeben die Zahl 0.2
bzw. konkret ihre Nachkommazhalenfolge (wo die 1. Ziffer eben 2 ist und danach nur Nullen.
Nun kannst du natürlich bei 0.20000...
die 1. mit der 2. NK Stelle tauschen, dann hast du 0.02000..
genau kannst du mit Vertauschen direkter Nachbaren die 2 beliebig weit "nahc rechts schieben".
Für jede x beliebige (endliche) zahl n kannst du mit ca. n-1 direkten Nachbar-Vertauschungen die 2 dahin bringen.
Visuell ist die 2 dann nach bspw. 1 Million Vertauschungen ziemlich weit rechts.
Aber da ist sie noch.
Und sie wird auch nie rechts rausfallen.
Nach "unendlich vielen Vertauschungen" ist sie unendölich weit rechts und man könnte sagen, sie ist faktisch nicht mehr da.
Das sind aber Aussagen über (hinsichtlich divergenz fragwürdiger) Grenzwerte.
Real erreichst du die nie.
Die 2 wird immer da sein, nur eben beliebig weit rechts.
Genauso kann man bei deiner Matrix (sieht zumindest einer Matrix ähnlich, die Anordnung) kreuz und quer hin und hertauschen.
Ich behaupte aber sogar fast dass du es nicht fertig brignst bspw. die 1. und 2. Zeile komplett miteinander zu tauschen,
denn es sind ja endlich viele Einträge und daher ist das dann ein nicht erreichbarer Grenzwert.
Aber wie gesagt, mit endlich vielen Shcritten kannst du endlich viele Vertauschungen machen, auch 1000000000000000 viele Vertauschungen nach Laune, aber verschwinden tut da nix.
Ansosnten müsstest du mal kurz erläutern was die Cantor Kritik eigentlich sein soll,
denn rein die Aussage dass man durch viele Vertauschungen was entfernenkann, ist Quatsch.
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geantwortet
densch
Student, Punkte: 304
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Woher beziehst du diese seltsamen Annahmen? Unter den in meinem letzten Beispiel eliminierten "O"-Zahlen gibt es unendlich viele reine 3er-Potenzen(mit exponent>0) und davon disjunkt unendlich viele reine 5er-Potenzen(mit exponent>0). Beide dieser Teilmengen (und ditto für jede weitere Primzahl als Basis) werden vollständig eliminiert, und zwar genauso "verzahnt", wie du es für irgendwelche Spalten der Matrix ausschließen willst.
─
mathe42
28.04.2022 um 20:41
Vielleicht sollten wir mal klarstellen, was es mit dem "Eliminieren" genau auf sich hat.
Selbstverständlich kann niemand (Chuck Norris mal ausgenommen) einer Folge bis zum Ende folgen, und zwar ganz einfach deswegen, weil die Folge gar kein Ende hat.
Aber wie sollte man denn nun feststellen, wo diese Folge "hinführt"?
Nun, vergleichen wir es doch mal wieder mit der Folge (1/n): Was der Grenzwert nun ist, vermutet man mit etwas Erfahrung oft recht schnell, aber das muss dann erst einmal bewiesen werden. Da gibt es so "Konvergenz-kriterien" und wenn diese für die Folge und den vermuteten Grenzwert erfüllt sind, dann weiß man, dass die Vermutung richtig war.
Für (1/n) vermutet man dann mal den Grenzwert 0, und ein so ein Konvergenz-kriterium ist, dass wenn man für jeden positiven Abstand zum Grenzwert immer einen Index berechnen kann, sodass alle Folgenglieder nach diesem Index näher am Grenzwert dran sind, dann ist 0 tatsächlich der Grenzwert der Folge (1/n): Dabei braucht man diesen Abstand gar nicht explizit angeben. Sei a so ein Abstand, dann gilt für n0 = "die kleinste natürliche Zahl größer als 1/a", dass beginnend mit n0 jedes weitere Folgenglied einen kleineren Abstand zum Grenzwert hat, als das geforderte a. Testweise kann man z.B. a= 0.0000000000000000000000000000000000000000001 setzen, aber im wesentlichen geht es darum, dass man für a nur fordert, dass es reell und größer 0 ist, und alleine daraus ergibt sich logisch, dass daraus prinzipiell so ein n0 berechnet werden könnte, wenn nur das Universum groß genug wäre um die Rechnung durchführen zu können. Lassen wir das Universum mit den Beschränkungen aus dem Spiel, dann kann man auf den logischen Schluß bauen, dass es zu jeder reellen Zahl a > 0 ein n0 gibt, sodass ab diesem n0 jedes Folgenglied kleiner als a ist.
Bei Matrixfolgen ist dieser "skalare" Grenzwert natürlich nicht anwendbar - da gibt es andere Kriterien.
Man verlangt etwa, dass man zu jedem beliebigen Bruch in der Matrix einen index n0 finden kann, sodass ab diesem Index n0 alle weiteren Matrizen diesen Bruch z.B. in der ersten Spalte haben, oder die Position des Bruches mit einem "X" bedeckt haben.
Genau diese Kriterien sind beweisbar erfüllt, auch wenn der Beweis etwas mehr "Formel-schupferei" bedeutet: ein Bruch p/q hat nach Cantorscher Abzählungsfunktion einen Abzählungsindex, und dieser dient als das n0. Es ist dann egal, ob die p und q des bruches p/q so groß sind, dass man sie nicht auf ein Blatt Papier schreiben kann, es ist stets gesichert, dass die Cantorsche Formel diesem p und q ein n0 zuordnet, das man dann wohl erst recht nicht auf ein Blatt Papier schreiben kann, aber dieses n0 ist dann der gesuchte Index, ab dem in jeder weiteren Matrix der Folge dieser Bruch in die erste Spalte verschoben ist, oder ein "X" auf sich liegen hat, das in weiterer Folge nicht mehr wegkommt.
Die Essenz, an der zu verstehen "Cantor-kritiker" jämmerlich scheitern, ist, dass man diese Brüche und Erst-Indizes gar nicht aufschreiben muss. Man braucht sich auch keine Gedanken um die unendlich vielen weiteren Brüche nach jedem, den man grad mit p/q assoziiert, machen, denn auch diese sind wiederum Brüche, haben daher eine Zähler/Nenner-darstellung, und für diese zwei Zahlen liefert die Cantorsche Funktionen einen Wert, und damit weiß man, dass jeder Bruch, aufschreibbar oder nicht, einen Index hat, ab dem er in jeder weiteren Matrix "abgefrühstückt" ist. Es kann also keinen Bruch geben, der sich ewig gegen ein "X" oder gegen die Verschiebung in die erste Spalte wehrt.
Zurück zur Elimination: Wenn man zu jeder "Distanz" eines Bruches p/q(mit "O") vom linksoberen Eck einen Index n0 angeben kann, sodass in jeder Matrix der Folge ab dem n0'ten Folgenglied jedes der "O"s einen größeren Abstand als die geforderte Distanz hat, dann bedeutet das, dass diese "O"s nirgendwo "sesshaft" werden, und das kann man dann umgangssprachlich so ausdrücken, dass "nach unendlich vielen der "X"/"O"-Vertauschungen keines der "O" übrig ist - also jedes eliminiert ist.
Die von "wm" angeführte bizarre Interpretation, wonach zuerst alle Vertauschungen und danach erst die Eliminationen der "O" hintennach passieren könnten, beruht wohl auf einem sehr eigenartigen gedanklichen Modell der natürlichen Zahlen, die da dann irgendwo mal zu Ende sind, und dann passiert was anderes... Die natürlichen Zahlen sind aber nicht irgendwo "zu Ende", da diese Folge eben "un"endlich ist. Grenzwerte sind keine Zauber-aktionen, die "nach allen" Zahlen passieren, sondern sie lassen sich sauber und zauberei-frei aus den erwähnten Konvergenz-kriterien beweisen, (oder eben nicht, wenn man mit einem falschen Wert als Grenzwert losstartet). ─ mathe42 29.04.2022 um 00:17
Selbstverständlich kann niemand (Chuck Norris mal ausgenommen) einer Folge bis zum Ende folgen, und zwar ganz einfach deswegen, weil die Folge gar kein Ende hat.
Aber wie sollte man denn nun feststellen, wo diese Folge "hinführt"?
Nun, vergleichen wir es doch mal wieder mit der Folge (1/n): Was der Grenzwert nun ist, vermutet man mit etwas Erfahrung oft recht schnell, aber das muss dann erst einmal bewiesen werden. Da gibt es so "Konvergenz-kriterien" und wenn diese für die Folge und den vermuteten Grenzwert erfüllt sind, dann weiß man, dass die Vermutung richtig war.
Für (1/n) vermutet man dann mal den Grenzwert 0, und ein so ein Konvergenz-kriterium ist, dass wenn man für jeden positiven Abstand zum Grenzwert immer einen Index berechnen kann, sodass alle Folgenglieder nach diesem Index näher am Grenzwert dran sind, dann ist 0 tatsächlich der Grenzwert der Folge (1/n): Dabei braucht man diesen Abstand gar nicht explizit angeben. Sei a so ein Abstand, dann gilt für n0 = "die kleinste natürliche Zahl größer als 1/a", dass beginnend mit n0 jedes weitere Folgenglied einen kleineren Abstand zum Grenzwert hat, als das geforderte a. Testweise kann man z.B. a= 0.0000000000000000000000000000000000000000001 setzen, aber im wesentlichen geht es darum, dass man für a nur fordert, dass es reell und größer 0 ist, und alleine daraus ergibt sich logisch, dass daraus prinzipiell so ein n0 berechnet werden könnte, wenn nur das Universum groß genug wäre um die Rechnung durchführen zu können. Lassen wir das Universum mit den Beschränkungen aus dem Spiel, dann kann man auf den logischen Schluß bauen, dass es zu jeder reellen Zahl a > 0 ein n0 gibt, sodass ab diesem n0 jedes Folgenglied kleiner als a ist.
Bei Matrixfolgen ist dieser "skalare" Grenzwert natürlich nicht anwendbar - da gibt es andere Kriterien.
Man verlangt etwa, dass man zu jedem beliebigen Bruch in der Matrix einen index n0 finden kann, sodass ab diesem Index n0 alle weiteren Matrizen diesen Bruch z.B. in der ersten Spalte haben, oder die Position des Bruches mit einem "X" bedeckt haben.
Genau diese Kriterien sind beweisbar erfüllt, auch wenn der Beweis etwas mehr "Formel-schupferei" bedeutet: ein Bruch p/q hat nach Cantorscher Abzählungsfunktion einen Abzählungsindex, und dieser dient als das n0. Es ist dann egal, ob die p und q des bruches p/q so groß sind, dass man sie nicht auf ein Blatt Papier schreiben kann, es ist stets gesichert, dass die Cantorsche Formel diesem p und q ein n0 zuordnet, das man dann wohl erst recht nicht auf ein Blatt Papier schreiben kann, aber dieses n0 ist dann der gesuchte Index, ab dem in jeder weiteren Matrix der Folge dieser Bruch in die erste Spalte verschoben ist, oder ein "X" auf sich liegen hat, das in weiterer Folge nicht mehr wegkommt.
Die Essenz, an der zu verstehen "Cantor-kritiker" jämmerlich scheitern, ist, dass man diese Brüche und Erst-Indizes gar nicht aufschreiben muss. Man braucht sich auch keine Gedanken um die unendlich vielen weiteren Brüche nach jedem, den man grad mit p/q assoziiert, machen, denn auch diese sind wiederum Brüche, haben daher eine Zähler/Nenner-darstellung, und für diese zwei Zahlen liefert die Cantorsche Funktionen einen Wert, und damit weiß man, dass jeder Bruch, aufschreibbar oder nicht, einen Index hat, ab dem er in jeder weiteren Matrix "abgefrühstückt" ist. Es kann also keinen Bruch geben, der sich ewig gegen ein "X" oder gegen die Verschiebung in die erste Spalte wehrt.
Zurück zur Elimination: Wenn man zu jeder "Distanz" eines Bruches p/q(mit "O") vom linksoberen Eck einen Index n0 angeben kann, sodass in jeder Matrix der Folge ab dem n0'ten Folgenglied jedes der "O"s einen größeren Abstand als die geforderte Distanz hat, dann bedeutet das, dass diese "O"s nirgendwo "sesshaft" werden, und das kann man dann umgangssprachlich so ausdrücken, dass "nach unendlich vielen der "X"/"O"-Vertauschungen keines der "O" übrig ist - also jedes eliminiert ist.
Die von "wm" angeführte bizarre Interpretation, wonach zuerst alle Vertauschungen und danach erst die Eliminationen der "O" hintennach passieren könnten, beruht wohl auf einem sehr eigenartigen gedanklichen Modell der natürlichen Zahlen, die da dann irgendwo mal zu Ende sind, und dann passiert was anderes... Die natürlichen Zahlen sind aber nicht irgendwo "zu Ende", da diese Folge eben "un"endlich ist. Grenzwerte sind keine Zauber-aktionen, die "nach allen" Zahlen passieren, sondern sie lassen sich sauber und zauberei-frei aus den erwähnten Konvergenz-kriterien beweisen, (oder eben nicht, wenn man mit einem falschen Wert als Grenzwert losstartet). ─ mathe42 29.04.2022 um 00:17
Die Abzählung nach Cantor ordnet JEDEM Bruch einen Abzählungsindex zu.
Dass du diese Abzählung durch eine Folge (von Matrizen) annäherst, darf dich nicht wundern lassen, warum in dieser *Annäherung* die komplette Abzählung eben nicht "erreicht" wird.
─ mathe42 29.04.2022 um 15:03
Dass du diese Abzählung durch eine Folge (von Matrizen) annäherst, darf dich nicht wundern lassen, warum in dieser *Annäherung* die komplette Abzählung eben nicht "erreicht" wird.
─ mathe42 29.04.2022 um 15:03
Die in der Frage skizzierte Matrix-Folge ist ein Modell für eine Funktionen-Folge, die Cantors Abzählungs-Funktion "annähert", aber eben nicht "erreicht".
Während Cantors Abzählungsfunktion *jedem* Bruch einen eindeutigen Index zuordnet, modelliert die n'te Matrix in der Matrix-Folge lediglich eine Funktion, die den ersten n Brüchen jeweils eine Position in der ersten Spalte zuordnet, und den restlichen entweder ihre ursprüngliche, oder eine andere, temporäre Position in der Matrix.
Was auf der falschen Annahme aufbaut, diese Matrizen-Folge "wäre bereits Cantors Abzählung", ist mathematisch wertlos, gerade so, als wäre es aus "1+1=3" gefolgert worden.
─ mathe42 01.05.2022 um 02:08
Während Cantors Abzählungsfunktion *jedem* Bruch einen eindeutigen Index zuordnet, modelliert die n'te Matrix in der Matrix-Folge lediglich eine Funktion, die den ersten n Brüchen jeweils eine Position in der ersten Spalte zuordnet, und den restlichen entweder ihre ursprüngliche, oder eine andere, temporäre Position in der Matrix.
Was auf der falschen Annahme aufbaut, diese Matrizen-Folge "wäre bereits Cantors Abzählung", ist mathematisch wertlos, gerade so, als wäre es aus "1+1=3" gefolgert worden.
─ mathe42 01.05.2022 um 02:08
Sorry allerseits, ich steige immer noch nicht durch worum es hier eigentlich geht.
Tatsache ist, der Ausdruck "Hier sollte das Schema nun erkennbar sein, und auch, dass nach weiteren unendlich vielen Schritten dieses Schemas ausschließlich "X" übrig blieben. "
Impliziert schon dass es um Grenzwerte geht, die nie erreicht werden können.
Denn unendlich viele Schritte kann man nicht mahcen, nur endlich viele, auch 1000000000000 Schritte, aber unendlich ist unmöglich.
Ansosnten ist mir nicht klar wie man hier durch Vertauschen was eliminieren will.
Man kann mit entsprechend vielen Partnervertauschungen eine gewisse Zahl (oder Bruch) beliebig weit nahc rechts oder unten schieben.
Aber verschwinden tut da nichts, man sieht es nur nicht mehr wenn man sich die ersten Paar Sachen anguckt.
Klar, iM Grenzwert "verschwindet" es womöglich, aber einen grenzwert kann man nicht erreichen sonst wärs ja keiner.
Ansosnten weiß ich nicht worum es hier überhaupt geht.
Cantors Schema ist doch idiotensicher, es gibt auch Formeln wie man die ganzen (a/b) Brüche indizieren kann in eindeztiger Weise.
Was ist nun also eigentlich die Frage, bzw. was sagen diese ominösen "Cantor Kritiker", die dauernd erwähnt werden, deren Kritik aber niemand mal nennt? ─ densch 02.05.2022 um 15:07
Tatsache ist, der Ausdruck "Hier sollte das Schema nun erkennbar sein, und auch, dass nach weiteren unendlich vielen Schritten dieses Schemas ausschließlich "X" übrig blieben. "
Impliziert schon dass es um Grenzwerte geht, die nie erreicht werden können.
Denn unendlich viele Schritte kann man nicht mahcen, nur endlich viele, auch 1000000000000 Schritte, aber unendlich ist unmöglich.
Ansosnten ist mir nicht klar wie man hier durch Vertauschen was eliminieren will.
Man kann mit entsprechend vielen Partnervertauschungen eine gewisse Zahl (oder Bruch) beliebig weit nahc rechts oder unten schieben.
Aber verschwinden tut da nichts, man sieht es nur nicht mehr wenn man sich die ersten Paar Sachen anguckt.
Klar, iM Grenzwert "verschwindet" es womöglich, aber einen grenzwert kann man nicht erreichen sonst wärs ja keiner.
Ansosnten weiß ich nicht worum es hier überhaupt geht.
Cantors Schema ist doch idiotensicher, es gibt auch Formeln wie man die ganzen (a/b) Brüche indizieren kann in eindeztiger Weise.
Was ist nun also eigentlich die Frage, bzw. was sagen diese ominösen "Cantor Kritiker", die dauernd erwähnt werden, deren Kritik aber niemand mal nennt? ─ densch 02.05.2022 um 15:07
Cantor-Kritiker sind Leute, die die heutzutage übliche Handhabe mit unendlichen Mengen, Funktionen(darunter Injektionen, Surjektionen) auf unendlichen Mengen, mental nicht fassen wollen(oder können).
Jedem mit Mengenlehre Vertrauten ist es selbstverständlich, dass eine Funktion f von N nach N\{1} mit der Formel f(n)=n+1 eine Bijektion ist (sofern N hier mit 1 beginnt), und dass N und N\{1} trotz ihrer "echte Teilmenge"-Beziehung, dennoch gleichmächtig sind.
Für jemanden wie "wm" ist alles ganz anders, weil irgendwie für jede Zahl, deren "+1" man berechnet, noch weitere unendlich viele Zahlen noch nicht berechnet wären. Schwurbelei hoch Bockmist mit Senf
Auch "Hilberts Hotel" wird von "Cantor-Kritikern" abgelehnt, aber nicht nur dass es real wäre - das wissen auch Mathematiker, dass es das im realen Universum nicht gibt - sondern auch im Kontext der puren theoretischen Mathematik würde einer wie "wm" davon ausgehen, dass ein zusätzlicher Gast zwangsläufig einen anderen Gast verdrängen würde. ─ mathe42 02.05.2022 um 15:42
Jedem mit Mengenlehre Vertrauten ist es selbstverständlich, dass eine Funktion f von N nach N\{1} mit der Formel f(n)=n+1 eine Bijektion ist (sofern N hier mit 1 beginnt), und dass N und N\{1} trotz ihrer "echte Teilmenge"-Beziehung, dennoch gleichmächtig sind.
Für jemanden wie "wm" ist alles ganz anders, weil irgendwie für jede Zahl, deren "+1" man berechnet, noch weitere unendlich viele Zahlen noch nicht berechnet wären. Schwurbelei hoch Bockmist mit Senf
Auch "Hilberts Hotel" wird von "Cantor-Kritikern" abgelehnt, aber nicht nur dass es real wäre - das wissen auch Mathematiker, dass es das im realen Universum nicht gibt - sondern auch im Kontext der puren theoretischen Mathematik würde einer wie "wm" davon ausgehen, dass ein zusätzlicher Gast zwangsläufig einen anderen Gast verdrängen würde. ─ mathe42 02.05.2022 um 15:42
Eine Überprüfung ist jederzeit möglich - Die Injektivität von "f: N->N\{1}: f(n)=n+1" ist direkt aus den Peano-Axiomen abgeleitet, die Surjektivität ergibt sich daraus, dass jedes n in N, außer der 1 Nachfolger einer natürlichen Zahl ist.
Wer die Bijektivität einer Funktion auf der Basis abstreitet, dass es natürliche Zahlen gäbe, die in die Formel nicht eingesetzt werden können, dann ist das keine Überprüfung der Bijektivität, sondern Trollerei - unter solchen Voraussetzungen wäre nicht einmal die Identitäts-funktion einer beliebigen unendlichen Menge auf sich selber bijektiv.
Und wenn die Moderatoren eine Ahnung von Mathematik haben, und die Entscheidung nicht darauf abwälzen, wer mehr seiner Freunde (oder Zweit/Dritt/...-accounts) zum down-/upvoten motivieren kann, dann würden sie vermutlich die Frage insgesamt löschen. ─ mathe42 03.05.2022 um 15:10
Wer die Bijektivität einer Funktion auf der Basis abstreitet, dass es natürliche Zahlen gäbe, die in die Formel nicht eingesetzt werden können, dann ist das keine Überprüfung der Bijektivität, sondern Trollerei - unter solchen Voraussetzungen wäre nicht einmal die Identitäts-funktion einer beliebigen unendlichen Menge auf sich selber bijektiv.
Und wenn die Moderatoren eine Ahnung von Mathematik haben, und die Entscheidung nicht darauf abwälzen, wer mehr seiner Freunde (oder Zweit/Dritt/...-accounts) zum down-/upvoten motivieren kann, dann würden sie vermutlich die Frage insgesamt löschen. ─ mathe42 03.05.2022 um 15:10
Beispiel: seien alle ungeraden Zahlen mit "O" und alle geraden mit "X" markiert. In jeder Vertauschung vertauschen wir jeweils das erste Paar wo ein "X" rechts von einem "O" steht:
OXOXOXOXOXOXOXOX...
XOOXOXOXOXOXOXOX...
XOXOOXOXOXOXOXOX...
XXOOOXOXOXOXOXOX...
XXOOXOOXOXOXOXOX...
XXOXOOOXOXOXOXOX...
XXXOOOOXOXOXOXOX...
XXXOOOXOOXOXOXOX...
...
Hier sollte das Schema nun erkennbar sein, und auch, dass nach weiteren unendlich vielen Schritten dieses Schemas ausschließlich "X" übrig blieben. ─ mathe42 28.04.2022 um 20:19