Zunächst einmal hast du einen Fehler im Induktionsschritt gemacht. Das letzte Glied deiner Summe ist \((2(n+1)-1)^3=(2n+2-1)^3=(2n+1)^3\neq (2n+2)^3\)

Wenn du bei einer Induktion nicht mehr weiter kommst, kannst du quasi von hinten heran gehen, also von da aus starten, wo du eigentlich hinkommen willst und so lange umformen bis du den Zusammenhang findest. Bei deinem Term würde ich empfehlen einfach von beiden Richtingen aus auszumultiplizieren. Dann kommst du auf den gleichen Term, also quasi dein Verbindungsstück zwischen Anfang und Ende des Induktionsschritts. Aufschreiben solltest du es aber in  chronologisch, also wie folgt:

\(5^3+7^3+\ldots (2n-1)^3 +(2n+1)^3 \overset{IV}{=} n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3-28=\ldots \ldots =2n^4+8n^3+11n^2+6n+1-28=(2n^4+4n^3+n^2)+(4n^3+8n^2+2n)+(2n^2+4n+1)-28=n^2\cdot (2n^2+4n+1) +2n\cdot (2n^2+4n+1)+ 1\cdot (2n^2+4n+1)-28=(n^2+2n+1)\cdot (2n^2+4n+1)-28=(n+1)^2 \cdot \Big{(} 2(n+1)^2-1\Big{)}-28\)

Die letzten Schritte habe ich quasi Rückwärts gemacht. Du muss durch ausmultiplizieren jetzt eigentlich nur noch die Lücke der Rechnung füllen und auf den angegebenen Term kommen.

Hoffe das hilft dir weiter.