Hyperbolische Gerade durch 2 Punkte aufstellen

Aufrufe: 258     Aktiv: 06.10.2023 um 18:07

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Ich mal wieder,
ich soll die hyperbolische Gerade durch die Punkte A und D aufstellen. Ich habe es versucht mit der Gleichung verallgemeinerter Kreise 
K={z aus C : a |z|^2 + Re(bz)+c=0} 
zuerst habe ich den Mittelpunkt berechnet, dann den Radius und dann die Koeffizienten a,b,c. 

Dazu habe ich mehrere Fragen:
1. ist das überhaupt der richtige Ansatz?
2. bei der Berechnung des Koeffizienten a bekomme ich zwei verschiedene werte raus, je nachdem ob ich mit Punkt A oder D rechne. Wo liegt mein Fehler?
3. welches meiner "beiden Ergebnisse" (gelbe Kasten) ist richtig? Bzw die richtige Form? 

liebe Grüße 


EDIT vom 06.10.2023 um 15:54:

das ist nun mein Rechenweg.

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Deine Rechnung ist ein wenig schwer zu durschauen, da du nicht erklärst, was du genau berechnest. Generell, für zwei Punkte $z_1,z_2 \in \mathcal{H}$, der oberen Halbebene, geht man wie folgt vor: 

Gilt für den Realteil $\Re(z_1)=\Re(z_2)$, so verbindet die beiden Punkte eine senkrechte Linie und wir sind fertig. Nehmen wir als an, dass das nicht der Fall ist. Damit $z_1=x_1+iy_1$ und $z_2=x_2+iy_2$ auf demselben Kreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt $(a,0)$ liegen, welcher Orthgonal die $x$-Achse schneidet, muss gelten:

$$(x_1-a)^2+y_1^2=r^2=(x_2-a)^2+y_2^2$$

Da sich die Realteile unterscheiden, können wir diese Gleichung nach $a$ auflösen. Dann kannst du noch $r>0$ ausrechnen.  Jetzt du hast deine hyperbolische "Gerade", welche in der hyperbolischen Geometry eben u.A. Kreisbögen sind. 

Ich vermute damit, dass auch all deine Ergebnisse falsch sind. Das obere von den beiden gelben Kästen ist immerhin irgendeine quadratische Gleichung in $x,y$, aber ich will die gerade auch nicht vereinfachen, da mir allgemein in der Lösung leider ein wenig Kontext fehlt. Denk dran, auch Worte sind Mathe: In jedem Paper, Textbuch und Skript, was du liest, wird mehr geschrieben als gerechnet. Und das hat einen Grund!

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Ich nehme an, Du verwendest hier das Poincarésche Halbebenenmodell, oder?

Wenn ja, dann ist Dein Ansatz richtig.

Dann aber verstehe ich Deine Gleichungen \(|z|^2=|z-i|^2\) und \(|z^2|=|z-(2+i)|^2\) nicht. Dies sind Gleichungen für die (euklidische) Mittelsenkrechte zwischen den Punkte 0 und A bzw. 0 und D. Diese haben mit der hyperbolischen Geraden nichts zu tun!

Wenn A und D auf K liegen sollen, dann müsste Deine Rechnung doch so anfangen: Finde a, b, c, so dass

    \(a|A|^2 + \Re(bA) + c = 0\)
    \(a|D|^2 + \Re(bD) + c = 0\)

Einsetzen von A und D liefert ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die Unbekannten a, b und c. Von diesem Gleichungssystem musst Du dann eine Lösung bestimmen.
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Vielen Dank. Das hilft mir sehr weiter. Ich habe das jetzt mal so gemacht und füge auch noch einmal ein Bild davon in meinem Beitrag ein. Das heißt aber dann, dass es für die Gleichung mehrere Möglichkeiten gibt, richtig? Ich habe am Ende des LGS für a einen Wert gewählt und dann b und c berechnet. Das habe ich einfach mal mit 2 verschiedenen Werten ausprobiert. Würde das bedeuten, dass beide Gleichungen K(1) und K(2) möglich wären?
Auf einer Seite ergibt das ja durchaus Sinn, da die unterschiedlichen Gleichungen dann auch einen unterschiedlichen Mittelpunkt haben.
Trotzdem verwirrt es mich etwas, da in meiner Aufgabe gefordert wird "die hyperbolische Gerade" durch A und D anzugeben und nicht "eine Gerade".
  ─   user99d9d1 06.10.2023 um 15:52

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Ja, es gibt mehrere Möglichkeiten, das Gleichungssystem zu lösen, denn es ist unterbestimmt. Man kann einen beliebigen Wert für a wählen (außer 0), und dann b und c berechnen. Es kommt dann immer die gleiche hyperbolische Gerade heraus. Es ist also \(K(1)=K(2)\).   ─   m.simon.539 06.10.2023 um 18:07

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