Notation bei mehrdimensionalen Polynomen

Aufrufe: 56     Aktiv: 07.10.2021 um 22:24

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Ich habe hier ein Beispiel zu einer Polynomfunktion p : \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) mit der Gestalt p(\(x_1,...,x_2\)) = \(\sum a_{j_1}a_{j_2}...a_{j_n}x_1^{j_1}\cdot...\cdot x_n^{j_n}\) mit Koeffizenten \(a_{j_1...j_n}\) \(\in\) \(\mathbb{R}\) und \(j_1,...j_n\) \(\in\) \(\mathbb{N}\).
Das ist mir schon mehrmals begegnet, und ich hab absolut keine Vorstellung wie ich mir das Vorstellen soll. Ich weiß natürlich wie ein eindimensionales Polynom aussieht. Hier verstehe ich aber irgendwie überhaupt nicht für was diese doppelten Indizes stehen soll und über was summier ich eigentlich? Wäre hilfreich, wenn mit jemand mal ein konkretes Beispiel liefern könnte von zum beispiel \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) oder so. Danke schonmal.
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$p(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2x_2^3+5+7x_1^3x_2x_3^5$.
Summiert wird über alle Kombinationen $j_1,j_2,...\in N$. Sollten natürlich nur endlich viele Möglichkeiten sein, sonst wäre es ja kein Polynom mit einem endlichen Grad.
Zunächst ungewohnte Schreibweisen verlieren ihren Schrecken, wenn man mal mutig einfach irgendwas erlaubtest einsetzt, wobei natürlich ganz streng auf die zugrunde liegenden Bedingungen zu achten ist. Dann schaut man es sich an und entspannt sich.
Zur Übung: wie sehen also in meinem obigen Beispiel die Koeffizienten aus, mit Bezeichnungen?
Übrigens: Die Koeffizienten in der Summe sind falsch geschrieben, danach stehen sie richtig.
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Danke schonmal für deine Antwort, mir ist das aber noch nicht so klar. Wozu steht das j bei \(a_{j_1j_2j_3}\) und wozu sind die nochmaligen Indizes 1,2,3 ?
Bei deinem Beispiel hätte ich jetzt gesagt \(a_{230}\) = 2, \(a_{000}\) = 5 und \(a_{305}\) = 7. Und der Rest, also zum Beispiel \(a_{123}\), ist 0. Insgesamt hätte ich 1000 Kombinationen (von 0 bis 999), da wir im \(R^3\) sind, und nur die drei oben angegebenen Koeffizenten sind ungleich 0? Aber das macht ja alles irgendwie keinen Sinn, sonst könnte ich ja nie sowas wie \(x_3^{42}\) haben, anstatt jetzt das \(x_3^5\) wie oben.
Und dein Polynom hat den Grad 5, weil die höchste Potenz 5 ist?
  ─   sorcing 07.10.2021 um 18:11

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Die allg. Notation ist (anders als in Deiner Frage oben) z.B. hier https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom#Polynome_in_mehreren_Unbestimmten
angegeben. Es heißt doch damit nur, dass jeder Koeffizient n Indices hat, die heißen eben $j_1,\ldots,j_n$. Man kann auch $a_{uvw}$ schreiben, aber dann hat man eben nur 3 Indices, das tut der Mathematiker ungern, weil ihm nach dem 26. Index (Polynom mit 27 Variablen) die Buchstaben ausgehen würden und es schon vorher verdammt viel Schreibarbeit wäre. Die $j_i$ sind natürliche Zahlen.
Deine Überlegungen sind soweit richtig, aber natürlich können auch Indices >9 auftreten, dann muss man das deutlich schreiben. $x_3^{42}$ geht natürlich, wenn es so auftritt, lautet der Koeffzient $a_{0,0,42}$. Hier verwendet man Kommas zur Abtrennung, das kennt man auch bei Elementen von Matrizen, die größer als $9\times 9$ sind.
Der Grad ist definiert als die max. auftretende Summe der Exponenten pro Summand, also im Beispiel 3+1+5=9 (steht auch bei wikipedia).
  ─   mikn 07.10.2021 um 22:09

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