Injektivität Definition/Beweis

Aufrufe: 95     Aktiv: 06.12.2021 um 14:13

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Hi ich habe momentan noch schwierigkeiten bei den Beweis der Injektivität, für mich ist das irgendwie kein richtiger Beweis sondern mehr eine feststellung, die Definition bzw der Beweis war: 

Für alle x1,x2 aus dem Definitionsbereich A: f(x1) = f(x2) daraus impliziert man dass x1=x2 ist.

Jedoch könnte man dass doch auch auf andere Abbildungen anwenden wo die Injektivität gar nicht gegeben ist.

man müsste dann nur die Funktion selbst mit x1 aufschreiben und gleich derselben mit x2 setzen, kürzen ect. und voila man hat x1=x2 was für mich irgendwie kein direkter Beweis ist, hoffe ihr wisst was ich meine :(
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Schau dir mal die Abbildung
$f: R \rightarrow R; x \mapsto x^2$ an. Die ist nicht injektiv. Das entscheidene ist hier, dass die Wurzel aus $x^2$ zwei Lösungen hat, eine positive eine negative. Versuche mal deine Idee damit zum Widerspruch zu führen.
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alles klar danke, also wäre der Betragsstrich sozusagen Ix1I=Ix2I ungleich x1=x2 ?   ─   hanshackebeil 05.12.2021 um 17:30

Also mit Beträgen hat das wenig zu tun.
Mit der allgemeinen Def für Injektivität müsste ja gelten:
$f(2)=2^2 = 4 = (-2)^2 = f(-2) \Rightarrow 2 = -2$ Also ein klarer Widerspruch.
Zum Verständnis: Was passiert, wenn wir oben den Definitionsbereich und Wertebereich einschränken? Also nur $g: R^+ \rightarrow R^+, x \mapsto x^2$ betrachten?
  ─   justs68pi 05.12.2021 um 17:37

dann würde es injektiv werden, da f(-2) wegfallen würde   ─   hanshackebeil 05.12.2021 um 19:17

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Das was du da gerade schreibst ist die gängige Definition für Injektivität, hattet ihr eine andere in der Vorlesung? Was möchtest du jetzt beweisen?
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Nein wir hatten diesselbe in der Vorlesung, nur verstehe ich nicht ganz genau was daran ein Beweis sein soll theoretisch könnte man doch sämtlich Abbildungen darauf anwenden, wenn man wie oben f(x1) = f(x2) setzt.   ─   hanshackebeil 05.12.2021 um 17:24

Für die Injektivktät spielt doch aber auch der Definitionsbereich eine wesentliche Rolle. Ist dir der Unterschied zwischen Abbildungen und Zuordnungsvorschriften klar? Auch kann deine Gleichung mehrere Lösungen haben, siehe untere Antwort   ─   mathejean 05.12.2021 um 17:30

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Exakt. D.h. bei der Bestimmung der Injektivität musst du sowohl auf die Abbildungsvorschrift, als auch auf den Definitionsbereich achten.
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