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Die Abbildung bei c) ist nicht linear. Das kann man intuitiv "sehen", da zwei Variablen multipliziert werden, was normalerweise nicht linear ist. Um das formal zu zeigen, reicht es ein Gegenbeispiel anzugeben. Es gilt z.B. $$f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)+f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\binom00+\binom 01\neq\binom21=f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)=f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right).$$
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stal
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wie bist du auf (2 1) gekommen?
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anonym
14.01.2021 um 18:10
$$f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\binom{2\cdot1\cdot1}{1+0}=\binom21.$$ Einfach in die Definition einsetzen.
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stal
14.01.2021 um 18:12
Okay, danke. Aber wieso addierst du (1 0 0) und (0 1 0) ?
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anonym
14.01.2021 um 18:14
Wie kann ich bei solchen Aufgaben allgemein vorgehen? Gibts da eine Vorgehensweise, die ich bei jeder Rechnung immer anwenden kann
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anonym
14.01.2021 um 18:15
Zuerst solltest du ein Gefühl dafür entwickeln, dass wegen der Multiplikation die Funktion vermutlich nicht linear ist. Danach musst du nur noch ein Gegenbeispiel finden, dazu funktioniert eigentlich ganz gut, einfach Sachen auszuprobieren. Man kann sich natürlich noch überlegen, dass sowohl \(x\) als auch \(y\) nicht 0 sein sollten, damit das Produkt überhaupt etwas zum Ergebnis beitragen kann. Das schränkt die Möglichkeiten ein, die man ausprobieren kann. Wenn du einfach zwei zufällige Vektoren nimmst, ist die Wahrscheinlichkeit sehr hoch, dass die Linearität nicht aufgeht.
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stal
14.01.2021 um 18:21
Ja, aber ich erkenn das nicht. Wie hast dus direkt erkannt, dass die Fkt. nicht linear ist? Da x und y multipliziert werden?
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anonym
14.01.2021 um 18:31
und ist in dem Fall die lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit gemeint?
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anonym
14.01.2021 um 18:33
Also welche bedingung muss gelten, damit´s linear ist?
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anonym
14.01.2021 um 18:43
Also ich hab da mal was hochgeladen. Stimmt´s jetzt? Ich muss immer überprüfen, ob ich die Ausgangsmatrix bekomme quasi..
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anonym
14.01.2021 um 20:11
Dann ist es linear.. ich hoffe, dass es diesmal mit dem Verständnis passt @anonym @stal
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anonym
14.01.2021 um 20:12
Also c und d sind nicht linear
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anonym
14.01.2021 um 20:12
Da c und d linear sind, solltest du gar nicht erst versuchen, eine Abbildungsmatrix aufzuschreiben, sondern einfach zeigen, dass die Abbildung nicht linear ist. Eine Abbildung \(f:V\to W\) zwischen zwei \(K\)-Vektorräumen ist genau dann linear, wenn für alle \(v,w\in V,\lambda\in K\) gilt ,dass $$f(v+w)=f(v)+f(w)\quad\text{ und }f(\lambda\cdot v)=\lambda\cdot f(v).$$ In meiner Antwort habe ich nachgewiesen, dass die erste Bedingung bei c nicht erfüllt ist.
Dein Ansatz ist nicht grundsätzlich falsch, du müsstest nur viel mehr dazuschreiben. Du könntest sagen: Angenommen, \(f\) ist linear, dann ist die Abbildung durch die Bilder der Standardbasis eindeutig festgelegt ((1,0,0)=(0,0) etc. ist übrigens falsch, es müsste f((1,0,0))=(0,0) heißen), dann wäre das die Abbildungsmatrix, aber das ist nicht das gleiche wie die gegebene Funktion, also ist die Abbildung nicht linear. Das ist aber sehr umständlich. ─ stal 14.01.2021 um 20:22
Dein Ansatz ist nicht grundsätzlich falsch, du müsstest nur viel mehr dazuschreiben. Du könntest sagen: Angenommen, \(f\) ist linear, dann ist die Abbildung durch die Bilder der Standardbasis eindeutig festgelegt ((1,0,0)=(0,0) etc. ist übrigens falsch, es müsste f((1,0,0))=(0,0) heißen), dann wäre das die Abbildungsmatrix, aber das ist nicht das gleiche wie die gegebene Funktion, also ist die Abbildung nicht linear. Das ist aber sehr umständlich. ─ stal 14.01.2021 um 20:22
Aber ich hab doch gezeigt, dass die Abbildung nicht linear ist. Würde aber mein Rechenweg reichen, um zu zeigen, dass die Abbildungen nicht linear sind?
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anonym
14.01.2021 um 20:26