Bijektivität durch Identität nachweisen?

Aufrufe: 389     Aktiv: 16.01.2022 um 16:41

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Hi, wir haben den Fall, bei einem Tut sagt der Tutor, dass er 

durch eine FUnktion zeigen möchte, dass N^2  x N abzählbar ist, also das 3 fache kartesische Produkt von N.

Dafür sagt er, er bildet einfach die Identität so:

f: N^2 x N --> N^3

und jedes F((a,b),c)= (a,b,c)

also jedes Tupel von N^2 x N bekommt ein Tupel von N^3 zugeordnet.

Dadurch habe man eine Bijektion dargestellt und das beweise unter anderem, dass N^2 x N abzählbar ist....
Erst Mal, was genau meint man mit Identität? Weil ich von N^2 x N auf N^3, also eigentlich auf das gleiche abbilde?

Wenn ja warum beweist dass die Abzählbarkeit.

Z. B. R ist doch nicht abzählbar, wenn ich nun sage:


R --> R, also R bildet auf R ab, so habe ich doch auch eine bijektive Abbildung, trotzdem ist doch R nicht abzählbar? Bin ich jetzt einfach nur verwirrt oder hat sich der Tutor hat sich versprochen?
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Abzählbarkeit einer Menge bedeutet, dass es eine Bijektion zwischen dieser Menge und der Menge der natürlichen Zahlen gibt, also $f:A\rightarrow \mathbb{N}$ ist eine Bijektion. Wenn du jetzt für $A=\mathbb{R}$ einsetzt, siehst du, dass es mit deiner "Schlussfolgerung" nicht passt. Man kann zeigen, dass $\mathbb{N}^n$ abzählbar ist, das heißt $\mathbb{N}^3$ kann dann wiederum bijektiv auf $\mathbb{N}$ abgebildet werden.

Definition (und Sätze) bitte immer GENAU lesen. Was sind die Voraussetzungen, was muss erfüllt sein?
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Der Tutor hat das random erschaffen.

In der Vorlesung haben wir stehen N^2 ist abzählbar.

Nun wollte er zeigen, dass N^2xN abzählbar ist und er meinte, da reicht es N^2xN -->N^3 zu machen. Da das jetzt bijektiv sei, sei das Abzählbar.
Hätte er gesagt N^2xN -->N und gezeigt, dass das bijektiv sei, wäre alles für mich klar gewesen.

Ich habe nur nicht kapiert, warum er es so formuliert hat, dass er die Identität nimmt, dadurch zeigt, dass das bijektiv ist, was ja selbstverständlich bei der Identität sein sollte und es dadurch abzählbar ist...
  ─   mikrokjaro0 16.01.2022 um 16:20

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.