Hallo,

eine Folge konvergiert, wenn

$$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \geq N : \ \vert a_n -a \vert < \varepsilon $$

Dabei ist \( a \) der Grenzwert der Folge \( a_n \). 

Im Prinzip bedeutet die Definition, das ab einem bestimmten Folgeglied, alle Folgeglieder einen Abstand zum Grenzwert haben, der gegen \( \varepsilon \) geht. 

Um nun also zu beweisen, das eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, müssen wir ein \(N \) berechnen, ab dem die Konvergenzbedinung gilt.

Dafür fangen wir an mit 

$$ \vert a_n - a \vert < \varepsilon $$

Wir setzen Grenzwert und Folge ein 

$$ \vert \frac n {n+1} - 1 \vert < \varepsilon $$

Diese Ungleichung wird nun solange abgeschätzt und umgeformt, bis wir einen Zusammenhang zwischen \( N \) und \( \varepsilon \) erhalten. Bei dir ist das

$$ \frac 1 {\varepsilon} -1 < n $$

Nun können wir zu jedem \( \varepsilon \) ein \( N(\varepsilon) \) bestimmen und somit konvergiert die Folge.

Grüße Christian