Es existiert es ein $\alpha \in \mathbb{C}$ sodas $\alpha f: V \rightarrow V$ eine Isometrie ist.

Erste Frage Aufrufe: 120     Aktiv: 05.06.2023 um 19:08
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Aufgabe:
Sei $(V,\langle.,.\rangle)$ ein unitärer, endlich dimensionaler Vektorraum, $f \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}(V, V)=\operatorname{End}_{ \mathbb{C}}(V) $ ein Endomorphismus $ \neq 0 $ mit der Eigenschaft, dass für alle $v, w \in V $mit $\langle v, w\rangle=0$ auch $\langle f(v ), f(w)\rangle=0 $ gilt. Zeigen Sie, dass es ein $\alpha \in \mathbb{C} $ gibt, für das $\alpha f\colon V \rightarrow V $ eine Isometrie ist.
 
 
Problem:
Ich habe das bereits visuell aufgezeichnet, aber nur für $\mathbb{R}^{2}$, für $\mathbb{C}$ bin ich mir nicht so sicher, wie es aussieht. Ich weiß, dass jede Isometrie entweder eine Spiegelung oder genauer gesagt eine Drehung ist, aber leider bin ich am Ende mit meinen Ideen. Vielleicht kann mir jemand ein konkretes Beispiel dafür geben, wie so ein $\alpha$ für $\mathbb{C}$ funktioniert, oder mir den Namen des Problems geben, das ich online nachschlagen kann.

Vielen Dank!
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Wähle eine orthonormale Basis. Wähle \(\alpha\) passend für die Orthonormalbasis (sehr leicht). Kommst du auf die Lösung?
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Als orthonormal Basis kann ich doch einfach die kanonische Basis nehmen. Mittlerweile habe ich $\alpha=\|v\|/\|f(v)\|$. Aber ich weiss nicht ganz was ich damit anfangen soll und ob das richtig ist,   ─   userf58d0e 05.06.2023 um 19:08

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