Betragsstriche

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Bin mir beim Repetieren der Aufgaben plötzlich unsicher, ob die Betragsstriche korrekt gesetzt wurden oder überhaupt nötig sind zur Ermittlung von der Variable "a".
Zu Beginn sind die Betragsstriche nur auf der rechten Seite, danach um die komplette Gleichung, da ich den Nenner auf die linke Seite multipliziert habe. Macht das Sinn?
Zur Info: Es geht in dieser Aufgabe um eine gesuchte Tangente an einen Kreis. Hier wurde die Lösung mittels HNF ermittelt. Darum habe ich auch zuerst nur auf der linken Seite die Betragsstriche, da Wurzel10 der Abstand von Tangente zu Kreis ist. 
Ich verstehe nicht, warum die Betragsstriche hier relevant sind. Der Abstand ist ja bereits gegeben. 


Hier habe ich noch kontrolliert, ob die rechte Seite der Gleichung positiv oder negativ gewesen wäre. 
Dieser Schritt ist ja eigentlich nicht notwendig, da dies für meine gesuchte Variable keine Rolle spielt? 

EDIT vom 20.06.2022 um 21:29:

Aufgabenstellung:

EDIT vom 20.06.2022 um 21:31:

Das haben wir noch vor dem ersten Bild gerechnet:
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gefragt

Punkte: 158

 

Es würde helfen, wenn Du die Aufgabenstellung beifügst.   ─   mikn vor 4 Tagen, 21 Stunden

Habe die Aufgabenstellung und den Rechenweg vor dem Gleichungssystem hinzugefügt.   ─   nas17 vor 4 Tagen, 21 Stunden
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2 Antworten
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Du solltest diese Umformungen mal üben, das ist alles sehr umständlich. Erst wird mit $\sqrt{10}$ multipliziert, dann wieder dividiert, dann wieder multipliziert. Naja, wem sonst die Rechnung zu einfach ist... ;-)
Eine Fallunterscheidung fängt damit an, dass man eine Bedingung hinschreibt. Den Schritt hast Du übersprungen.
Hier braucht man aber keine Fallunterscheidung (und keine Probe), weil die Umformungen Äquivalenzumformungen sind.
Zu lösen ist $\sqrt{a^2+1}\sqrt{10}=|-2a-4|$. Also:
$\sqrt{a^2+1}\sqrt{10}=|-2a-4| \iff 10(a^2 +1)=(-2a-4)^2 \iff ... \iff a=-\frac13 \lor a=3$.

Fertig.
Auch Deine Probe zeigt, dass Du anscheinend nicht ausgelastet bist ;-) Um das Vorzeichen von $-2a-4$ zu prüfen, rechnet Du das Vorzeichen von $\frac{4a+1-5-6a}{\sqrt{a^2+1}}$ aus und damit man das nicht so schnell sieht, schreibst Du noch $\sqrt{10}=$ links daneben.
Und wenn eine Probe nötig wäre (hier nicht), dann macht man die bevor man die Tangentengleichung ausrechnet, damit man, falls eine Lösung rausfallen sollte, nicht eine Tangentengleichung unnötig ausgerechnet hat.

Also, übe man geordnetes Vorgehen, das spart eine Menge Zeit und Papier (und ist entsprechend weniger fehleranfällig).
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Lehrer/Professor, Punkte: 25.23K

 

Vielen Dank fürs Anschauen! Bei Wurzel10 musste ich gerade schmunzeln, keine Ahnung was ich mir dabei gedacht habe. :D
(Warum hast du die Betragsstriche bei | -2a -4| gesetzt? Könnte man auch Wurzel(a^2+1) im Nenner lassen? In diesem Beispiel ist es gemäss deinem Kommentar ja sowieso unnötig, da es eine Äquivalenzumformung ist. Wahrscheinlich dachte ich bei HNF sofort an Betragsstriche und habe sie darum gesetzt...)

Bei simplen Abstandsberechnungen (wie Punkt zu Gerade) mit HNF mache ich ja auch keine "Fallunterscheidung", sondern mache das Resultat einfach positiv, falls es negativ ist. Mir fällt jedoch ein Beispiel mit Winkelhalbierenden ein, wobei die Fallunterscheidung zwingend ist (da es zwei Winkelhalbierende gibt, z.B. bei zwei Geraden im Raum). Dieses Beispiel rechnet man ja auch mit der HNF...
Für mich noch unklar: Wann ist die Fallunterscheidung durchzuführen, sprich es gibt dann zwei Lösungen oder wann wird meine negative Lösung einfach positiv gemacht (sprich nur eine Lösung).

Meine Idee: Ich schaue mir die Aufgabenstellung an, wenn ein Abstand gefragt ist, muss es logischerweise nur eine Lösung geben (d.h. Betragsstriche machen negative Lösung positiv). Bei Winkelhalbierenden etc., wo von Beginn an logisch ist, dass es zwei geben muss, geben mir die Betragsstriche an, dass eine Fallunterscheidung durchgeführt werden muss.

Leider wurden uns die Betragsstriche nur kurz mit |-7| = 7 erklärt...
  ─   nas17 vor 4 Tagen, 19 Stunden

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Da sind ein paar falsche Ideen drin. Es gibt gar nicht soviel zu überlegen.
Ich habe Betragsstriche gesetzt, weil die ja in der Herleitung (letztes Foto, Gleichung unten) und auch in der ersten Zeile Deiner Rechnung da stehen. Da gibt es gar keinen Grund die wegzulassen.
Und nochmal: Eine Fallunterscheidung besteht nicht einfach darin, dass man "Fall 1" und "Fall 2" drüber schreibt, sondern da gehört dann "Fall 1: $-2a-4\ge 0$ und "Fall 2: $-2a-4\le 0$ drüber. Keine Fallunterscheidung OHNE notierte zugehörige Bedingung.
Könnte man hier machen, aber wozu? Viel umständlicher, weil ja am Ende die Bedingung des Falles geprüft werden muss. Und hier fallen nach Quadrieren beide Fälle zusammen (gleiche Rechnung).
Und gerade bei Abständen (wo Beträge auftauchen) gibt es eben fast immer zwei Lösungen. So wie hier, aber auch bei Punkten zu Ebene (ein Punkt vor der Ebene, ein Punkt dahinter), bei Abständen auf der Zahlengeraden usw.
Also: erstmal mit Beträgen rechnen solange es geht (hier: locker bis zum Ende). Fallunterscheidungen dann (sonst nicht!), wenn's ohne nicht weitergehen würde.
Nicht reflexartig (wie's leider oft antrainiert wird): Ah Beträge, also muss ich Fallunterscheidung machen.




  ─   mikn vor 4 Tagen, 19 Stunden

Das mit der Bedingung hinschreiben war mir neu. Da sieht man, wie wenig uns solche wichtigen Dinge erklärt werden... Umso wichtiger, dass Du mir dies erklärt hast! :)
Noch kurz zu den Betragsstrichen in diesem Bsp: Ich darf also den Nenner auf die linke Seite multiplizieren, und die Betragsstriche bleiben erhalten auf der rechten Seite? Oder beziehen sich die Betragsstriche ausschliesslich auf die Zähler (was für mich jedoch keinen Sinn machen würde).
  ─   nas17 vor 4 Tagen, 19 Stunden

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Man lernt das am besten indem man selbst viel rechnet. Erklärungen vergisst man ja leider leicht wieder (auch gute).
Zähler/Nenner: Es gilt stets $|\frac{u}v| = \frac{|u|}{|v|}$, man kann also die Beträge auf Zähler und Nenner verteilen (auch im komplexen übrigens). Da hier der Nenner eine Wurzel ist, und Wurzeln immer positiv (oder 0) sind, kann man den Betrag um die Wurzel weglassen.
Es freut mich, wenn Dich meine Erklärungen weiterbringen.

Noch zur Fallunterscheidung: Man muss ja den Fall benennen,"Falls dies und das eintritt (Bedingung), dann.... (Fall 1)", Falls was anderes eintritt, dann.... (Fall 2). Es kann natürlich auch mehr als zwei Fälle geben.
Übe mal das Auflösen von Gleichungen vom Typ $|ax+b|<|ux+v|$ (falls noch nicht geschehen), Das ist mühselig, aber man lernt dabei geordnet vorzugehen und die Fälle sauber zu notieren.
  ─   mikn vor 4 Tagen, 19 Stunden

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Danke! Das waren viele wichtige Informationen für mich. :)
Gleichung dieses Typs habe ich nie geübt, werde ich aber tun. Ist sicherlich auch gut fürs Verständnis, wenn es um Betragsfunktionen geht.
  ─   nas17 vor 4 Tagen, 11 Stunden

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Der Betrag um eine gesamte Gleichung ist Unfug. Durch das Aufteilen in die zwei Fälle, löst du den Betrag doch auf.
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Selbstständig, Punkte: 23.04K

 

Dann wäre der erste Schritt noch in Ordnung und danach müsste ich eine Fallunterscheidung durchführen?
Dies habe ich am Schluss gemacht (siehe Bild Fall 1 und 2), bei dem ich jedoch meine beiden Resultate für "a" eingesetzt habe. Dies bringt mir doch am Schluss nichts mehr, oder? Sobald ich "a" berechnet habe, erstelle ich die Tangentengleichungen.
Bei Aufgabenstellungen wie "berechne den Abstand zwischen Gerade und Ebene o.ä. ist mir bewusst, dass Betragsstriche zwingend notwendig sind, da ein negatives Ergebnis entstehen kann (unterschiedliche Vorzeichen gibt meines Wissens nur die Richtung an)
  ─   nas17 vor 4 Tagen, 20 Stunden

Auf dem ersten Bild sehe ich die Fallunterscheidung am Anfang und da gehört sie auch hin. Keine Ahnung, was du mit "am Schluss" meinst.   ─   cauchy vor 4 Tagen, 20 Stunden

Korrekt, auf dem zweiten Bild habe ich sie durchgeführt. Das habe ich jedoch nach der Berechnung von a1 und a2 gemacht. Ich habe dann a1 und a2 eingesetzt um zu schauen, welche korrekt gewesen wäre.
Die Resultate für a1 und a2 habe ich ohne Fallunterscheidung erhalten.
Wie du bei zweiten Bild siehst, wäre der Fall 2 mit dem Minus davor korrekt gewesen.
Dies habe ich beim Rechnen nicht berücksichtigt und trotzdem das richtige Resultat erhalten? Da ich die Ermittlung von a1 und a2 ja vor der Fallunterscheidung gemacht habe.
  ─   nas17 vor 4 Tagen, 20 Stunden

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