Lineare Abbildung

Aufrufe: 54     Aktiv: 24.09.2021 um 14:35

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Hey! Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die ich zzur Vorbereitung auf die mündliche Prüfung bekommen habe und dort habe ich eine Frage, ich hoffe, mir kann jemand helfen.

Sei P2 der Vektorraum der reellen Polynome von Grad <= 2 und sei T element End(P2) mit Tf=f´.Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von T bzgl. der Basis B={1, x, x^2}.

Meine Frage ist jetzt, wie ich daraus eine Matrix aufstelle. Also ich habe jetzt 1, x und x^2 jeweils abgeleitet, aber was fange ich mit dieser Information an und wie bestimme ich die Matrixdarstellung?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
gefragt

Student, Punkte: 20

 
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Die Ableitung von einem Polynom \(P \in P_2\) mit \(P(X)=aX^2+bX+c\) ist gegeben durch \(P´(X)=2aX+b\). Das musst du jetzt in einer Matrix aufschreiben! Folglich ist die letzte Spalte \(0\), kommst du jetzt weiter?
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Leider nicht so wirklich.. Die Ableitungen habe ich problemlos berechnet, weiß aber nicht was mir die bringen für die Matrix..   ─   user9902 24.09.2021 um 14:28

Naja, die letzte Spalte ist \(0\) da kein \(X^2\) vorkommt. Jetzt kommt aber \(X\) genau \(2a\)-mal vor also ist die zweite Spalte \((2,0,0)^T\). Wie oft kommt die \(1\) vor?   ─   mathejean 24.09.2021 um 14:29

Ahh ja, stimmt. Hab mal wieder zu kompliziert gedacht, dankeschön!!   ─   user9902 24.09.2021 um 14:35

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Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren. Bedenke dabei, dass du ein Polynom $ax^2+bx+c$ dabei als (Koeffizienten-)Vektor in der Form $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ darstellen kannst (bzgl. der Standardbasis).
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Stimmt, danke!!!   ─   user9902 24.09.2021 um 14:35

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