Zwei Fibonacci-Zahlen, deren Differenz durch 314 teilbar (Schubfachprinzip)

Aufrufe: 344     Aktiv: 04.08.2022 um 09:42
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Hallo, 

ich soll mithilfe des Schubfachprinzips zeigen, dass es zwei verschiedene Fibonacci-Zahlen gibt, deren DIfferenz durch 314 teilbar ist. 

Zunächst kann ich mir ja die Kategorien angucken: Wir haben die Restklasse $K_i$ mit Rest $i$ Modul 314, $i=0,...,313$. Also haben wir 314 Kategorien (n=314)

Was ist mit den Objekten m? Und wie zeige ich den Satz letztendlich?

Danke im Voraus
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1 Antwort
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Das hat mit Fibonacci-Zahlen nichts zu tun, dient wohl nur zur Verwirrung.
Das Schubfachprinzip besagt: unter 315 natürlichen Zahlen fallen (mind.) 2 in die gleiche Restklasse mod 314 (was Du Kategorien nennst). Von da sollte es nicht mehr schwer sein...
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Lehrer/Professor, Punkte: 32.87K

 
Ich kann die Aussage (Deine Umgeschriebene) immer total nachvollziehen, aber mir fällt es oft schwer, das mathematisch aufzuschreiben. Versuch: Die Resklasse mod 314 ist (0,…,313).
315 $\equiv$ 1, was ja bereits einer anderen Zahl zugeordnet war. Deshalb sind mindestens 2 Zahlen in derselben Restklasse (hier: 1).
  ─   huhu123 31.07.2022 um 14:13
Und wieso darf ich einfach alle natürlichen Zahlen bis 315 betrachten? Zum Beispiel ist ja die 4 eine natürliche Zahl aber keine Fibonacci-Zahl, aber ich betrachte sie trotzdem. Das verwirrt mich gerade ein bisschen (Verwirrung hat funktioniert)   ─   huhu123 31.07.2022 um 14:25
Okay ich versuche es nochmal.
  ─   huhu123 31.07.2022 um 14:26
Ich habe mir mal 314 „Schubladen“ gedacht, was die Restklassen mod 314 , also (0,…,313) darstellen sollen.
Meine Objekte sind 315 Zahlen (a=1, denn: Wir wollen mindestens 2 in einer Kategorie, also muss a=1 sein)
Meine Kategorien: Restklassen mod 314 (n=314)
Zuordnung: Zahl in Restklasse

Nach dem SFP gilt: n*a+1 =1*314+1=315.

Passt das?
   ─   huhu123 31.07.2022 um 15:49
Also folgende Überlegungen:

Ich habe 314 Restklassen $R_0,….,R_{313}$, wobei $x \in R_i \Leftrightarrow $ Einerstelle von x ist $i$. Man verteile nun 315 verschiedene Zahlen auf diese Restklassen. Dann existiert $R_i$ mit mindestens 2 Zahlen.

Passt das?   ─   huhu123 03.08.2022 um 18:47
Stimmt, Denkfehler. Danke.
Also: Ich kriege es nicht hin, die 315 Zahlen auf alle Restklassen zu verteilen, ohne dass zwei Zahlen nicht in die selbe Klasse fallen. Deshalb gibt es mindestens zwei Zahlen in derselben Restklasse. Zwei Zahlen in einer Restklasse haben eine Differenz von Vielfache von 314.
Ich versuche es mal Formal:
Seien $x_i$ und $x_j$ beide in $R_i$. Dann ist $x_i$ - $x_j = 0 \quad mod \quad 314$.
Folglich ist die Differenz teilbar durch 314.   ─   huhu123 03.08.2022 um 20:07
Ich wollte quasi versuchen, eine Verteilung der 315 Zahlen auf die Restklassen zu finden, dass keine in dieselbe Klasse fällt, um zu zeigen dass es nicht geht und sehr wohl zwei Zahlen in dieselbe Klasse fallen (eine Art Widerspruch).
Ich bin dran! Vielen Dank für die Hilfe. :-)   ─   huhu123 03.08.2022 um 21:19
Neuer Versuch: Seine $R_0,…,R_{313}$ die 314 Restklassen. Man verteile 315 verschiedene Zahlen auf diese Restklassen. Dann existiert nach dem SFP eine Restklasse $R_i$ mit mindestens 2 Zahlen. Zwei Zahlen in einer Restklasse haben eine Differenz von $n*314$, wobei $n \in \mathbb{N}$\{0}. Formal: Seien $x_i, x_j \in R_i$, wobei $i≠j$. Dann ist $x_i-x_j=0$ $mod$ $314$. Folglich ist die Differenz teilbar durch 314.

   ─   huhu123 03.08.2022 um 22:04
Ich danke Dir vielmals für Deine Hilfe!   ─   huhu123 04.08.2022 um 09:26

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