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Hallo, 

ich soll mithilfe des Schubfachprinzips zeigen, dass es zwei verschiedene Fibonacci-Zahlen gibt, deren DIfferenz durch 314 teilbar ist. 

Zunächst kann ich mir ja die Kategorien angucken: Wir haben die Restklasse $K_i$ mit Rest $i$ Modul 314, $i=0,...,313$. Also haben wir 314 Kategorien (n=314)

Was ist mit den Objekten m? Und wie zeige ich den Satz letztendlich?

Danke im Voraus
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1 Antwort
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Das hat mit Fibonacci-Zahlen nichts zu tun, dient wohl nur zur Verwirrung.
Das Schubfachprinzip besagt: unter 315 natürlichen Zahlen fallen (mind.) 2 in die gleiche Restklasse mod 314 (was Du Kategorien nennst). Von da sollte es nicht mehr schwer sein...
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Ich kann die Aussage (Deine Umgeschriebene) immer total nachvollziehen, aber mir fällt es oft schwer, das mathematisch aufzuschreiben. Versuch: Die Resklasse mod 314 ist (0,…,313).
315 $\equiv$ 1, was ja bereits einer anderen Zahl zugeordnet war. Deshalb sind mindestens 2 Zahlen in derselben Restklasse (hier: 1).
  ─   huhu123 31.07.2022 um 14:13

Nein, man kann eben nicht schließen, dass es zwei Zahlen gibt, die beide Rest 1 lassen. Nur das, was ich oben gesagt habe. Du kannst auch beim Schubfachprinzip mit 6 Socken in 5 Schubladen nicht schließen, dass in der obersten Schublade zwei Socken sind.
Mach Dir das Schubfachprinzip nochmal klar, das ist oft sehr nützlich.
  ─   mikn 31.07.2022 um 14:24

Und wieso darf ich einfach alle natürlichen Zahlen bis 315 betrachten? Zum Beispiel ist ja die 4 eine natürliche Zahl aber keine Fibonacci-Zahl, aber ich betrachte sie trotzdem. Das verwirrt mich gerade ein bisschen (Verwirrung hat funktioniert)   ─   huhu123 31.07.2022 um 14:25

Okay ich versuche es nochmal.
  ─   huhu123 31.07.2022 um 14:26

Bitte genau lesen. Ich habe nicht gesagt "alle natürlichen Zahlen bis 315".   ─   mikn 31.07.2022 um 14:29

Ich habe mir mal 314 „Schubladen“ gedacht, was die Restklassen mod 314 , also (0,…,313) darstellen sollen.
Meine Objekte sind 315 Zahlen (a=1, denn: Wir wollen mindestens 2 in einer Kategorie, also muss a=1 sein)
Meine Kategorien: Restklassen mod 314 (n=314)
Zuordnung: Zahl in Restklasse

Nach dem SFP gilt: n*a+1 =1*314+1=315.

Passt das?
  ─   huhu123 31.07.2022 um 15:49

Nein. Ich verstehe auch nicht woher jetzt das a kommt. Und nichts mit "wir wollen". Ich hab Dir eine Situation vorgegeben. Kläre erstmal, ob bzw. warum die hier anwendbar ist. Dann wende sie an (d.h. ziehe eine Folgerung daraus mit dem SFP (was einfach ist, weil ich's Dir ja schon hingeschrieben habe)). Schau erstmal, dass Du es soweit 100%ig verstanden hast. Vorher nicht weiterdenken.
Danach geht es weiter mit Folgerungen, die zwangsläufig zum Beweisende führen. Dazu (wie immer in der Math.) folgern mit "d.h. (äquivalentes einsetzen), also..."
  ─   mikn 31.07.2022 um 16:07

Also folgende Überlegungen:

Ich habe 314 Restklassen $R_0,….,R_{313}$, wobei $x \in R_i \Leftrightarrow $ Einerstelle von x ist $i$. Man verteile nun 315 verschiedene Zahlen auf diese Restklassen. Dann existiert $R_i$ mit mindestens 2 Zahlen.

Passt das?
  ─   huhu123 vor 4 Tagen, 18 Stunden

Für die Einerstelle existieren nur 10 Restklassen.   ─   cauchy vor 4 Tagen, 18 Stunden

Wozu die Einerstelle? Damit hast du hier nichts zu tun. Sonst soweit ok. Nun weiter.   ─   mikn vor 4 Tagen, 17 Stunden

Stimmt, Denkfehler. Danke.
Also: Ich kriege es nicht hin, die 315 Zahlen auf alle Restklassen zu verteilen, ohne dass zwei Zahlen nicht in die selbe Klasse fallen. Deshalb gibt es mindestens zwei Zahlen in derselben Restklasse. Zwei Zahlen in einer Restklasse haben eine Differenz von Vielfache von 314.
Ich versuche es mal Formal:
Seien $x_i$ und $x_j$ beide in $R_i$. Dann ist $x_i$ - $x_j = 0 \quad mod \quad 314$.
Folglich ist die Differenz teilbar durch 314.
  ─   huhu123 vor 4 Tagen, 17 Stunden

Ja, ist doch gut. Wieso willst Du 315 so verteilen, dass nicht zwei in dieselbe Klasse fallen? Willst Du das jahrhundertealte Schubfachprinzip widerlegen? Bist Du sicher, dass Du Dich da nicht übernimmst?
So ist es gut formuliert und auch fast formal sauber, man muss aber noch erwähnen, dass $x_i\neq x_j$ ist. Fertig. Und Du siehst es hat (fast) nichts mit F-Zahlen zu tun (man muss nur wissen, dass die 315 F-Zahlen alle verschieden sind).
Ich wiederhole mich: Schau, dass Du das SFP wirklich 100%ig verstehst.
  ─   mikn vor 4 Tagen, 16 Stunden

Ich wollte quasi versuchen, eine Verteilung der 315 Zahlen auf die Restklassen zu finden, dass keine in dieselbe Klasse fällt, um zu zeigen dass es nicht geht und sehr wohl zwei Zahlen in dieselbe Klasse fallen (eine Art Widerspruch).
Ich bin dran! Vielen Dank für die Hilfe. :-)
  ─   huhu123 vor 4 Tagen, 15 Stunden

Dann hast Du versucht das SFP zu beweisen. Darum ging es aber in der Aufgabe gar nicht. Du solltest es nur anwenden. Achte genau auf die Formulierungen, damit Du Dir keine unnötige Arbeit machst.   ─   mikn vor 4 Tagen, 15 Stunden

Neuer Versuch: Seine $R_0,…,R_{313}$ die 314 Restklassen. Man verteile 315 verschiedene Zahlen auf diese Restklassen. Dann existiert nach dem SFP eine Restklasse $R_i$ mit mindestens 2 Zahlen. Zwei Zahlen in einer Restklasse haben eine Differenz von $n*314$, wobei $n \in \mathbb{N}$\{0}. Formal: Seien $x_i, x_j \in R_i$, wobei $i≠j$. Dann ist $x_i-x_j=0$ $mod$ $314$. Folglich ist die Differenz teilbar durch 314.

  ─   huhu123 vor 4 Tagen, 15 Stunden

Ja, sorry, eine Sache hatte ich übersehen, die hab ich im Nachhinein oben editiert: Es muss $x_i\neq x_j$ sein ($i\neq j$ reicht nicht, denn es könnten ja z.B. $x_7$ und $x_{200}$ in derselben Klasse liegen, aber gleich sein). Außerdem sollte die Restklasse nicht $R_i$ heißen, wenn später noch ein $i$ auftaucht.
Also: "Seien.... Man verteile 315 verschiedene Fibonacci-Zahlen auf.... Dann existiert... eine Restklasse $R_k$ mit....". Weiter dann wie oben: "... Seien $x_i,x_j\in R_k$ mit $x_i\neq x_j$" (das braucht man, damit $n\neq 0$ garantiert ist).
Aber ich glaub Du hast es nun verstanden, das ist schonmal gut.
  ─   mikn vor 4 Tagen, 14 Stunden

Ich danke Dir vielmals für Deine Hilfe!   ─   huhu123 vor 4 Tagen, 3 Stunden

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