Alle Lösungen einer komplexen Zahl

Aufrufe: 43     Aktiv: 04.04.2021 um 17:51

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Hallo Leute, ich habe folgende Komplexe Zahl, mit der angegebenen Aufgabe. Ich habe die Komplexe Zahl soweit umgeformt durch die Division und der Bestimmung von r . Wie genau bestimme ich jedoch phi, da a=0 ist. Und wie verfahre ich mit der 3.Wurzel ? Forme ich diese zu 1/3 um und multipliziere sie in den Term ?

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1 Antwort
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Hallo

Also du hast ja z gegeben nämlich \(z=\frac{1+2i}{-16+8i}\) nun gibt es bei solchen Brüchen mit komplexen Zahlen einen Trick, nämlich erweiterst du mit dem komplex konjugierten Nenner und dividierst gleich wieder dadurch (zur Wiederholung die komplex konjugierte einer Zahl \(u=a+bi\) ist \(\stackrel{–}{u}=a-bi\) sprich:
\(z=\frac{1+2i}{-16+8i}=\frac{(1+2i)(-16-8i)}{(-16+8i)(-16-8i)}=\frac{-40i}{320}=-\frac{1}{8}i\)

So und nun weisst du ja dass \(r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+(-\frac{1}{8})^2}=\frac{1}{8}\)
So nun wenn du dir das mal auf dem Einheitskreis einzeichnest merkst du recht schnell wo dein Punkt liegt und kannst dann eigentlich \(\phi\) auch gleich ablesen, notfalls würde dir die Trigonometrie auch helfen und wenn du das geschafft hast kannst du ja \(z\) in polarform schreiben nämlich \(z=re^{i\phi}\) und dann mit den Potenzgesetzen kannst du \(\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{re^{i\phi}}=(re^{i\phi})^{\frac{1}{3}}\) berechnen.

Ich hoffe das hilft weiter sonst nachfragen.
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Student, Punkte: 740
 

Somit würde ich das Phi mit 1/3 multiplizieren am ende und die 1/8 hoch 1/3 schreiben oder ?   ─   alper 04.04.2021 um 16:35

Jein, also genau du hast bemerkt dass \((re^{i\phi})^{\frac{1}{3}}=(\frac{1}{8})^\frac{1}{3}e^{i \frac{\phi}{3}}=\frac{1}{2}e^{\frac{i\phi}{3}}\) wichtig ist aber dass das e bleibt, sonst wäre es ja keine Polarform, also was du jetzt noch machen musst ist das \(\phi\) berechnen, aber wie gesagt das \(e\) bleibt, also deine Zahl KÖNNTE dann vielleicht so aussehen \(\sqrt[3]{z}=\frac{1}{2}e^{\frac{0.125i}{3}}\)   ─   karate 04.04.2021 um 16:41

Müsste die 1/8 nicht auch mit der 1/3 bearbeitet werden?   ─   alper 04.04.2021 um 17:37

Oh ja natürlich das habe ich übersehen, habe es gerade in den Kommentar hineinkorrigiert.   ─   karate 04.04.2021 um 17:50

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