DGL 2 Ordnung

Aufrufe: 69     Aktiv: 28.09.2021 um 09:44

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Hallo Zusammen.

Ich steh leider vor einem großen Problem:

Meine DGL lautet:

x²y"- x*y´+2y = x²              y1 = x²

Mein Ansatz wäre, dass ich die Homogene berechne mittels dem Eulerschem Lösungsansatz
d.h. ich muss die Gleichung erst einmal umstellen damit Y" alleine steht.
y"-1/x*y´+2y/x²=0 
Aber ich kann doch mein x nicht in den Eulerschen Ansatz einbringen.

Kann mir jemand meinenen Fehler aufzeigen und erklären.

SG Sys
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Probier mal den Ansatz:\(y=ax^2\)
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Damit wird man nicht alle Lösungen finden.   ─   christian_strack 27.09.2021 um 09:43

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Hallo,

bei DGLen der Form

$$ a_0 x^0 y + a_1 x^1 y' + a_2  x^2  y'' + \ldots + a_n x^n y^{(n)} = f(x) $$

bietet sich für den homgenen Teil der Lösung der Potenzansatz an 

$$y(x) = Cx^{\lambda} $$

die partikuläre Lösung kannst du dann wie gewohnt mit Hilfe des Ansatzes der rechten Seite oder Variation der Konstanten finden. 

Grüße Christian
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ok   ─   gerdware 27.09.2021 um 09:46

Vielen Dank für die Antwort.

Wenn ich Sie richtig verstanden habe, wollen SIe dass ich den Ansatz der homogenen Lösung einer Euler Cauchy nehme.

Somit erhalte ich als Homogene
Y(h)= x*(A*cos(ln(x)) +b*sin(ln(x))

und dann geh ich weiter in die Partikuläre
da ja r(x)=x²/x² also 1 ist gibt das ja nur eine Konstante

=> Y(part) = K

Ich muss zugeben ich steh jetzt auf dem Schlauch aber komplett.

SG Sys
  ─   sysdown 27.09.2021 um 20:17

Ja genau die homogene Lösung stimmt doch schon mal.

Wenn du $1$ als Ansatz für die partikuläre Lösung nimmst, kommst du nicht ans Ziel. Probiere es mal mit $y_p = ax^2 +bx + c$.
  ─   christian_strack 28.09.2021 um 09:44

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