Folgenkonvergenz (Teilfolgen)

Aufrufe: 164     Aktiv: 1 Monat, 4 Wochen her

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Ich komme bei der Konvergenzüberprüfung nicht weiter.

Ich weiß,dass 0 ein häufungspunkt ist, da es der grenzwert zweier teilfolgen ist.

Ich will zeigen, dass 0 auch somit der einzige Häufungspunkt ist, da man dann weiß, dass a (n) Konvergent ist.

bräuchte ansätze/hilfe um die konvergenz von a(n) zu zeigen.

gefragt 2 Monate her
eray278n
Punkte: 44

 

Wenn ich mich nicht irre, gibt es da einen Satz, der besagt, wenn jede Teilfolge \((a_n)_k\) gegen den gleichen Grenzwert \(a\) konvergiert, dass dann auch die Folge \(a_n\) gegen diesen konvergiert. Wenn du zeigst, dass deine beiden Teilfolgen gegen \( 0\) konvergieren, dann bist du eigtl. fertig, wenn du mit diesem Satz argumentierst.   ─   gardylulz 2 Monate her

ja das hab ich gemacht..
aber sind das alle meine teilfolgen??
Danke
  ─   eray278n 2 Monate her

Das sind leider nicht alle Teilfolgen. Beispielsweise ist \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) selbst auch eine Teilfolge. Und damit steht man dann wieder am Anfang.   ─   anonym 2 Monate her

Der Satz ist eigentlich nur in die andere Richtung nützlich. Also wenn man weiß, dass die Folge konvergiert und damit die Konvergenz einer Teilfolge zeigen will.   ─   anonym 2 Monate her

Das hör ich zum ersten Mal. Und ich erinnere mich auch sehr wohl an Beispiele als auch Übungen, in denen er in genau dieser Richtung benutzt worden ist. Insbesondere in topologischen Räumen wurde das öfters genutzt.   ─   gardylulz 1 Monat, 4 Wochen her

Aber wenn du zeigen kannst, dass jede Teilfolge konvergiert, dann kannst du auch zeigen, dass die Folge selbst konvergiert, weil die Folge selbst ja auch eine Teilfolge ist. Die Richtung des Satzes, die du beschrieben hast, ist daher trivial. Ich kenne die Anwendung dieser Richtung eigentlich nur für einen Widerspruchsbeweis. Also wenn man zeigen will, dass eine Folge nicht konvergiert.
So oder so, die Konvergenz von zwei Teilfolgen zu zeigen, reicht in diesem konkreten Beispiel nicht aus. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes offensichtlich noch nicht erfüllt. Oder sehe ich das falsch?
  ─   anonym 1 Monat, 4 Wochen her
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1 Antwort
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Wenn du weißt, dass \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \) ist, dann folgt \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) aus dem Sandwichlemma wegen \( 0 \le a_n \le \frac{1}{n^2} \).

geantwortet 2 Monate her
anonym
Student, Punkte: 4.57K
 

Das Downvote der Antwort kann ich nicht verstehen. Inhaltlich kann ich die Antwort nach meinem besten Wissen und Gewissen als korrekt bezeichnen. Aber natürlich bin ich offen für Kritik. Wenn es Fragen oder Unstimmigkeiten gibt, kann man gerne darüber sprechen :)   ─   anonym 1 Monat, 4 Wochen her

woher weiß man das an <= 1/n2 ist?   ─   eray278n 1 Monat, 4 Wochen her

\( a_n \) ist ja entweder Null oder \( \frac{1}{n^2} \). In beiden Fällen ist es also kleiner/gleich \( \frac{1}{n^2} \).   ─   anonym 1 Monat, 4 Wochen her
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