Folgenkonvergenz (Teilfolgen)

Aufrufe: 1062     Aktiv: 30.11.2020 um 11:51
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Ich komme bei der Konvergenzüberprüfung nicht weiter.

Ich weiß,dass 0 ein häufungspunkt ist, da es der grenzwert zweier teilfolgen ist.

Ich will zeigen, dass 0 auch somit der einzige Häufungspunkt ist, da man dann weiß, dass a (n) Konvergent ist.

bräuchte ansätze/hilfe um die konvergenz von a(n) zu zeigen.

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Wenn ich mich nicht irre, gibt es da einen Satz, der besagt, wenn jede Teilfolge \((a_n)_k\) gegen den gleichen Grenzwert \(a\) konvergiert, dass dann auch die Folge \(a_n\) gegen diesen konvergiert. Wenn du zeigst, dass deine beiden Teilfolgen gegen \( 0\) konvergieren, dann bist du eigtl. fertig, wenn du mit diesem Satz argumentierst.   ─   anonym179aa 28.11.2020 um 16:51
ja das hab ich gemacht..
aber sind das alle meine teilfolgen??
Danke   ─   eray278n 28.11.2020 um 19:11
Das sind leider nicht alle Teilfolgen. Beispielsweise ist \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) selbst auch eine Teilfolge. Und damit steht man dann wieder am Anfang.   ─   42 28.11.2020 um 22:09
Der Satz ist eigentlich nur in die andere Richtung nützlich. Also wenn man weiß, dass die Folge konvergiert und damit die Konvergenz einer Teilfolge zeigen will.   ─   42 28.11.2020 um 22:12
Das hör ich zum ersten Mal. Und ich erinnere mich auch sehr wohl an Beispiele als auch Übungen, in denen er in genau dieser Richtung benutzt worden ist. Insbesondere in topologischen Räumen wurde das öfters genutzt.   ─   anonym179aa 29.11.2020 um 12:48
Aber wenn du zeigen kannst, dass jede Teilfolge konvergiert, dann kannst du auch zeigen, dass die Folge selbst konvergiert, weil die Folge selbst ja auch eine Teilfolge ist. Die Richtung des Satzes, die du beschrieben hast, ist daher trivial. Ich kenne die Anwendung dieser Richtung eigentlich nur für einen Widerspruchsbeweis. Also wenn man zeigen will, dass eine Folge nicht konvergiert.
So oder so, die Konvergenz von zwei Teilfolgen zu zeigen, reicht in diesem konkreten Beispiel nicht aus. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes offensichtlich noch nicht erfüllt. Oder sehe ich das falsch?   ─   42 29.11.2020 um 22:54
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Wenn du weißt, dass \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \) ist, dann folgt \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) aus dem Sandwichlemma wegen \( 0 \le a_n \le \frac{1}{n^2} \).

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Das Downvote der Antwort kann ich nicht verstehen. Inhaltlich kann ich die Antwort nach meinem besten Wissen und Gewissen als korrekt bezeichnen. Aber natürlich bin ich offen für Kritik. Wenn es Fragen oder Unstimmigkeiten gibt, kann man gerne darüber sprechen :)   ─   42 29.11.2020 um 23:04
woher weiß man das an <= 1/n2 ist?   ─   eray278n 30.11.2020 um 11:05
\( a_n \) ist ja entweder Null oder \( \frac{1}{n^2} \). In beiden Fällen ist es also kleiner/gleich \( \frac{1}{n^2} \).   ─   42 30.11.2020 um 11:51

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