Jensensche Ungleichung - Geometrie

Aufrufe: 394     Aktiv: 07.11.2023 um 23:45

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Ich brauche dringend Hilfe bei einer Aufgabe aus Geometrie:
Das ist die Aufgabe:
Diskutieren Sie die Jensensche Ungleichung (inklusive Definition konvexer Funktionen und Andeutung des Beweises)
und nutzen sie diese um die Ungleichung zwischen dem harmonischen und dem arithmetischen Mittel zu zeigen.

EDIT vom 27.01.2023 um 22:01:

Das ist ja die Formel für die Jensensche Ungleichung:



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Punkte: 72

 

Ich weiß nicht wie ich den Beweis der jensenschen Ungleichung geometrisch andeuten kann?
Also klar ich weiß das die jensensche Ungleichung nur für konvexe Funktionen gilt und eine Funktion ist konvex wenn die Verbindungslinie von 2 beliebigen Punkte der Funktion immer oberhalb es Graphen liegt.
Aber was genau sagt denn überhaupt die Jensensche Gleichung geometrisch aus und kann man die an einer Skizze darstellen bzw. erklären?
Wie kann man die Jensensche Ungleichung erklären in Bezug auf die Menge der Schwerpunkte einer Funktion und in Bezug auf die konvexe Hülle?
  ─   anonym3630b 27.01.2023 um 16:54
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Ich gehe jetzt mal von der Def. mit zwei Stellen aus (nicht $n$). Dann kommt nur ein Parameter $\lambda$ vor. Markiere im Koordinatensystem linke und rechte Seite der Ungleichung für versch. Werte von $\lambda$ (für irgendein konvexes $f$, Skizze reicht (ist sogar besser als konkrete Funktion). Was fällt auf?
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Ich kann mir schlecht vorstellen wie ich das an einer Skizze zeige bzw. das skizzieren kann
Siehe oben da hab ich die Formel für die jensensche ungleichung aufgeschrieben aber da ist gar kein Lambda enthalten und ich weiß echt nicht wie ich die Jensensche ungleich in einer Skizze zeigen kann.
Kannst du mir bitte helfen und evt eine Skizze zeichnen und zeigen wie ich die Jensensche Ungleichung daran sehen kann
  ─   anonym3630b 27.01.2023 um 21:57

Leider verstehe ich überhaupt nicht was du dort aufgeschrieben hast, weil wenn der Schwerpunkt die Summer aller Alphas ist und lambda ist Alpha durch den Schwerpunkt dann ist das doch aber nicht die Definition von oben?
Und wenn n=2 ist dann ist es doch genau die Definition von konvexen Funktionen oder?
  ─   anonym3630b 27.01.2023 um 22:58

Was genau ist ein epigraph?
Und kann man die jensensche Ungleichung auch einfach in Worten bezüglich der Schwerpunkte erklären?
Und mit Induktionsbeweis sollen wir das nicht beweisen sondern eher irgendwie an der Skizze
  ─   anonym3630b 28.01.2023 um 10:49

Und was sagt mir das das die Jensensche Ungleichheit für n=2 die Definition für konvexe Funktionen ist?   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 10:50

Bzw wie kann man das an der Skizze erkennen?   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 10:50

Ich hab mir das ja durchgelesen aber finde es eben sehr kompliziert erklärt deshalb habe ich gehofft, du kannst es mir vllt einfacher erklären.   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 12:25

Naja irgendwie sagt die Jensensche Ungleichung ja aus das der Schwerpunkt im Epigraphen der Funktion liegen muss und epigraph ist der Bereich oberhalb der konvexen Funktion oder?   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 13:18

Naja der Schwerpunkt der Funktion liegt im Epigraphen der Funktion also der Fläche überhalb des graphen   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 14:07

Aber eine Funktion kann doch mehrere Schwerpunkte haben also müssen alle Schwerpunkte im Epigraphen liegen aber das ist ja logisch wenn die Funktion konvex ist also der Graph der Funktion nach unten gekrümmt ist sozusagen
Aber die Jensensche Ungleichung muss ja irgendwie die Schwerpunkte und das gewichtete Mittel der Schwerpunkte miteinander vergleichen
  ─   anonym3630b 28.01.2023 um 14:10

Ist der Schwerpunkt das gewichtete Mittel der Funktion ?   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 14:14

Der Schwerpunkt ist der Mittelwert der Funktion?   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 14:51

Also das arithmetische Mittel der Funktion?   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 14:54

Ich habe noch nie das arithmetische Mittel bei einer Funktion berechnet   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 15:37

Man muss alle Funktionswerte addieren und dann durch die Anzahl der funktionswerte teilen   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 15:39

Kannst du mir bitte einen Ansatz geben?   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 16:27

Ich seh leider komplett gar nicht durch   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 18:18

Das arithmetische Mittel von der Funktion wäre T^2/3 aber das kann ich ja nicht einzeichnen in ein Koordinatensystems   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 18:31

Ich hab es mit dem Integral berechnet und T ist einfach nur eine Variable, könnte man auch einfach das n nehmen von 1/n uns dann das integral von x^2 ist ja (1/3) / x^3 und dann fehlt ja noch 1/n und dann erhält mal (n^2)/3   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 19:19

Leider weiß ich nicht wie ich sonst das arithmetische Mittel herausbekomme   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 20:03

Ja ich versteh das man beim arithmetischen Mittel von x alle x werte addiert und dann durch die Anzahl der Werte teilt und bei x genau das gleiche und der Schwerpunkt ist dann der Punkt bestehend aus dem arithmetischen Mittel von x und y. Aber ich weiß eben nicht wie ich das arithmetische Mittel von x ausrechnen kann sodass ich am Ende einen x wert habe den in auch einzeichnen kann weil beispielsweise bei x^2 gibt es ja unendlich viele x werte   ─   anonym3630b 28.01.2023 um 22:05

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