Konvergenzbeweis

Erste Frage Aufrufe: 1010     Aktiv: 25.01.2021 um 10:08
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Zeigen Sie, dass jeder topologischer Raum genau dann kompakt ist, wenn in ihm jeder Ultrafilter konvergiert.

 

Die Hinrichtung konnte ich zeigen, bekomme aber die andere Richtung nicht hin.

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Student, Punkte: 10.87K

 
Hey, hast du in deinem Skript schon die Äquivalenz der Kompaktheit zur Aussage, dass für eine Menge abgeschlossener Teilmengen mit finite intersection property der Schnitt nicht leer ist, wenn der Schnitt aller endlichen Teilmengen nicht leer ist?

Wir haben die Rückrichtung zu dieser äquivalenten Aussage gezeigt anstatt zur Kompaktheit selbst   ─   jojoliese 25.01.2021 um 10:00
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Angenommen, \(X\) ist nicht kompakt. Dann gibt es ein System von offenen Mengen \(\mathcal O\), sodass \(\bigcup\mathcal O=X\) und für jedes endliche \(\mathcal E\subseteq O\) gilt \(\bigcup E\neq X\). Betrachte nun $$B=\left\{X-\bigcup E\ |\ E\subseteq\mathcal O\text{ endl.}\right\}.$$ Dann ist \(\{W\supseteq A:A\in B\}\) ein Filter (warum?). Dann gibt es einen Ultrafilter \(\varphi\), der diesen Filter umfasst. Was folgt dann aus der Annahme?

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Danke für die ausführliche Antwort, dass hat mir sehr geholfen   ─   mathejean 25.01.2021 um 10:08

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