Sind die beiden Limites korrekt?

Aufrufe: 403     Aktiv: 03.01.2021 um 15:07
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du hast hier keinen größer oder kleiner (gleich) Bereich. Beide Grenzwerte werden mit der gleichen Funktion gebildet, links mit x<2, rechts mit x>2  und dann mit dem Funktionswert f(2) abgeglichen

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wenn du dir das graphisch anschaulich machst, siehst du die Vorgehensweise vll. besser.   ─   monimust 03.01.2021 um 11:51
Also nimmt man beide Funktionen nur dann, wenn "größer/kleiner gleich etc." vorliegt und nur eine der beiden Funktionen, wenn "gleich/ ungleich" vorliegt? Nehme ich dann immer die "ungleich"-Funktion, also hier die erste   ─   tim.490 03.01.2021 um 11:53
?*   ─   tim.490 03.01.2021 um 11:54
stelle dir noch mal die Graphik von deiner x^2 Frage vor (ist leichter als diese Parabel aber das gleiche Vorgehen) und vergleiche mit dem anderen Beispiel von vorhin. bei der Parabel "hängt" der festgelegte Wert in der "Luft" und du must dich ihm mit der Parabel von beiden Seiten annähern. Bei der anderen Gleichung "hängt der Punkt am Graphen direkt dran", d.h. von der Seite kann ja gar kein anderer Grenzwert rauskommen.   ─   monimust 03.01.2021 um 11:59
@tim.490 es reicht für die Stetigkeit nicht aus das linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert gleich sind, diese müssen zusätzlich mit dem Funktionswert an der entsprechenden Stelle übereinstimmen ... wie ist denn dein Funktionswert an der Stelle \(x=2\)?   ─   maqu 03.01.2021 um 12:32
Ja genau, der Funktionswert muss aus gleich sein. Nur wollte ich eine Regel notieren, wann man welche Funktion bzgl. des Grenzwertes nimmt. Kann man das so festhalten:
Also nimmt man beide Funktionen nur dann, wenn "größer/kleiner gleich etc." vorliegt und nur eine der beiden Funktionen, wenn "gleich/ ungleich" vorliegt? Nehme ich dann immer die "ungleich"-Funktion, also hier die erste?   ─   tim.490 03.01.2021 um 14:10
@tim.490 ja du meinst glaube ich das richtige ... in deinem Beispiel ist die Funktion links und recht von \(x=2\) durch deine quadratische Funktion erklärt, betrachtest du also links- und rechtsseitigen Grenzwert gegen \(x=2\) nutzt du für die grenzwertbetrachtung von beiden Seiten die erste Funktion ... ist dort der Grenzwert gleich schaust du noch ob es mit dem funktionswert übereinstimmt, der nur im entsprechende Punkt anders definiert ist ... bei anderen abschnittsweise definierten Funktionen welche sich bzgl. \(<\) und \(\geq\) bzw. \(>\) und \(\leq\) in ihrem definitionsbereich unterscheiden, werden dementsprechend auch links- und rechtsseitige Grenzwerte von unterschiedlichen (den in den Abschnitten entsprechend definierten) Funktionen betrachtet ... beantwortet das deine Frage? :)   ─   maqu 03.01.2021 um 14:24
@tim490, wie oben schon vorgeschlagen, versuche es, mit Hilfe einer Zeichnung zu verstehen, dann kannst du dir die "Regel" selbst machen und musst sie nicht auswendig lernen. Das was du aufgeschrieben hast, kann ich nicht ganz nachvollziehen   ─   monimust 03.01.2021 um 14:24
@maqu: Danke, ja, hat meine Frage beantwortet. Schlimm, dass Mathebücher das nicht gleich ansprechen, ...   ─   tim.490 03.01.2021 um 14:26
@monimust: Ich weiß nicht so ganz, wie ich dein Vorschlag mit dem Zeichnen umsetzen soll   ─   tim.490 03.01.2021 um 14:28
an den beiden Beispielen deiner letzten Frage. Ich dachte, da hättest du gesehen, dass die Parabel unterbrochen wurde.   ─   monimust 03.01.2021 um 14:31
Achso, aus der anderen Frage (https://www.mathefragen.de/frage/q/d9482a9e17/stetigkeit-beim-knick/). Ja, x^2 wird quasi normal gezeichnet, bei 0 ist eine Unterbrechung, zudem ist bei dem x-Wert (0) der y-Wert 1. - Laut der Definition der Funktion darf ich hier nur x^2 für die Grenzwertbildung verwenden.   ─   tim.490 03.01.2021 um 14:34
@tim.490 was @ monimust meint ist wenn du die Funktion zeichnest, setzt du den Stift dich bei \(x=2\) kurz ab, machst einen Punkt bei \((2|3)\), setzt wieder ab und zeichnest deine Funktion weiter .... genau das ist deine Unstetigkeit bloß mal grafisch veranschaulicht   ─   maqu 03.01.2021 um 14:36
@tim490 genau, und bei dem anderen Beispiel in den Kommentaren "stößt" du ja auf der einen Seite direkt auf den Funktionswert, während die Kurve von der anderen Seite unterbrochen ist   ─   monimust 03.01.2021 um 14:39
@maqu es gibt aber ja auch noch die andere Funktion, nämlich die Gerade 3 oder?   ─   tim.490 03.01.2021 um 14:42
da die "Gerade" nur an einer einzigen Stelle (x=2) definiert ist, schrumpft sie auf einen Punkt zusammen.
   ─   monimust 03.01.2021 um 14:44
Habe das alles mal gerade in meinen TI eingetippt: die 3 an der Stelle 2 machen ja kaum einen Unterschied, es scheint so, als schmiegt diese sich nahezu perfekt an die Parabel an, dessen Grenzwert bei 2 ja 2,5 ist (also sehr nah dran).
Auch wenn der beidseitiger Grenzwert existiert, ist der Funktionswert aber 3 und nicht 2,5,. .   ─   tim.490 03.01.2021 um 14:48
deswegen musst du ja rechnen, weil je nach Auflösung, siehst du den Unterschied nicht. Falls du das mit dem Zeichenvorschlag von mir versuchst mit dem GTR zu lösen, so war das nicht gemeint!, du kannst/musst die Aufgabe auf einfachere übertragen, damit du selbst skizzieren kannst, gerne mit Übertreibung, z.B. statt 'ner 3 eine 30 einzeichnen, der Sinn ist ja der gleiche   ─   monimust 03.01.2021 um 14:53
@tim.490 selbst wenn der Unterschied nur 0,03 oder noch kleiner betragen würde, müsste man trotzdem an der Stelle das zeichnen der Funktion unterbrechen genau wie bei einem Abstand von 0,5 oder 27,5 oder ähnlichem   ─   maqu 03.01.2021 um 15:07

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