0

Hallo zusammen, wie ermittelt man in diesem Fall den Konvergenzradius und welche Bedeutung hat in diesem Kontext das z? Vielen Dank für die Hilfe.

 

gefragt 2 Monate her
pabelito89
Student, Punkte: 36

 

Hast du denn mal spaßeshalber ein paar Werte ausgerechnet ? Was stellst du fest ?   ─   markushasenb 2 Monate her

Ich verstehe alleine nicht wofür manche Variablen stehen zum Beispiel z und was ich dafür einsetzen soll. Da fängt es schon an. Und die Erklärungen, die ich bisher fand halfen mir nicht weiter. Ich weiß auch nicht was ich als z0 für Entwicklungspunkt wählen soll. In manchen Beispiel Aufgaben wurde der Teil mit z am Anfang ignoriert und nur der Teil mit n per Quotientenkriterium oder Wurzel Kriterium ausgerechnet. Bei dieser Reihe geht das aber nicht, da z durch einen Wert (-2) geteilt wird und ich denke, dass es wichtig sein wird. Die Lösung der Aufgabe ist wohl 2 aber ich weiß nicht wie man darauf kommt.   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her
Kommentar schreiben Diese Frage melden
2 Antworten
1

\(\lim n^\frac{5}{n}=1==>|\frac{z}{-2}|<1 <=>|z|<2\)

geantwortet 2 Monate her
gerdware
Lehrer/Professor, Punkte: 1.11K
 

Interessant. Danke. Werde ich mal üben. Vielleicht verstehe ich das Prozedere bald besser.   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

@gerdware, wie kommt man bei n^(5/n) auf 1? Wenn ich dort steigende natürliche Zahlen einsetze komme ich auf Werte größer als 1! Den Rest von dem Lösungsansatz verstehe ich langsam denke ich   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
2

Die allg. Form einer Potenzreihe ist \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n\). \(z_0\) ist der Entwicklungspunkt, \(a_n\) sind die Koeffizienten. Bestimme zuerst \(z_0\) und \(a_n\) für die Reihe in Deiner Aufgabe (Probe!). Aus den \(a_n\) bestimmt man den Konvergenzradius \(\rho\) (schau in Deine Unterlagen!). Die Reihe konv. dann für alle \(z\) mit \(|z-z_0|<\rho\).

So geht man da ran, also fang an und lass sehen, was Du an Ergebnissen erzielst.

geantwortet 2 Monate her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 10.14K
 

Aha ok, danke. Und wenn z0 der Entwicklungspunkt ist, was ist dann z?
Wie wählt man den Entwicklungspunkt aus? Muss man dabei irgendwas beachten oder kann man dafür willkürliche Werte benutzen?
  ─   pabelito89 2 Monate her

Das steht in der Reihe in Deiner Aufgabe. Potenzreihen sind Funktion (genauer: Funktionsterme). z ist hier dasselbe was x in f(x) ist. Aber der Reihe nach!
Geh bitte nach den o.g. Schritten vor, es muss \(a_n(z-z_0)^n=n^5(\frac{z}{-2})^n\) für alle \(n\) und für alle \(z\) sein: \(a_n=?,\, z_0=?\). Probe durch Einsetzen.
  ─   mikn 2 Monate her

Für n werden natürliche Zahlen eingesetzt. Das verstehe ich. Was ich für z einsetzen soll verstehe ich leider immer noch nicht.
Kann es sein, dass man z erstmal sich nur wie ein n vorstellen muss, dann auch irgendwelche Zahlen einsetzt um dann das Wurzel Kriterium mit Cauchy Hadamard oder Quotientenkriterium mit Cauchy Hadamard anzuwenden?
  ─   pabelito89 2 Monate her

Entwicklungspunkt als Begriff verstehe ich leider auch noch nicht zu 100%. Ist das ein Startpunkt so ähnlich wie bei der Newton Nullstellen Berechnung ?   ─   pabelito89 2 Monate her

Warum gehst Du nicht nach den Schritten vor? Dann klärt sich einiges. In meinem letzten Kommentar steht eine Gleichung, die muss gelten für alle n und für alle z (sorry, das mit z ergänze ich noch oben).   ─   mikn 2 Monate her

Mikn, ich versuche es ja aber wenn ich nur diese Definition lese die du mir lieferst und die deckungsgleich mit anderen typischen Definitionen ist, sagt mir das leider nicht viel. Sorry. Ich würde gerne einfach nur von dir wissen, wie ich mit dem z umgehen soll? Ignorieren oder wie ein n behandeln?   ─   pabelito89 2 Monate her

z ist kein n, ich hab Dir oben gesagt, was z ist. Erfüll die Gleichung oben, dann weißt Du, wie die Reihe aussieht. Da gibt es auch fast nichts zu rechnen, es ist Voraussetzung vor allem anderen.
Vorübung: \(a_n z^n = n^2 (2z)^n\) soll für alle z und alle n gelten, a_n=?. Danach die für unsere Reihe. Vorher bitte nichts anderes.
  ─   mikn 2 Monate her

Was nimmt man denn dann für z0 als Entwicklungspunkt? Irgendeine willkürliche Zahl? Woher weiß ich, was ich als Entwicklungspunkt benutze, wenn z einfach nur wie x bei f(x) betrachtet wird, was du ja oben angedeutet hast? Deine Definition ist ja deckungsgleich mit der aus den meisten Mathe Büchern. Ich verstehe nur noch nicht die Zusammenhänge zwischen z-z0.   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

Was ich bis jetzt als Praxisbeispiel einer Potenzreihe kenne und verstehe ist die McLaurin Taylor Reihe mit der man Cosinus und Sinus unter anderem approximieren kann. Aber hier hat man ja nur eine Variable, ein x und zwar das gewünschte Bogenmaß wozu man den Sinus oder Cosinus Wert ermitteln will.   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

Ich hab Dir keine Def. abgeschrieben, sondern einen Ansatz. DEN Ansatz, der Dich weiterführt, weil Du daraus a_n und z_0 findest. Ich kann Dir nur das Stöckchen hinhalten, springen musst Du schon selbst. Mehr kann ich nicht für Dich tun. Wenn Du nur ein einziges a_n und z_0 im Ansatz oben ausprobiert hättest, irgendeins!, dann wärst Du lange fertig. Natürlich passt das erstbeste nicht, aber beim Probieren sieht man, was passt. Viel Erfolg!   ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

Also muss ich folgende Formel ausrechnen und für z0 willkürliche Werte einsetzen?! a^5*((z-z0)/-2)^n?

Wenn ich den Konvergenzradius ausrechne nur mit dem a n Teil, wie von dir oben erläutert, müsste 2 das Ergebnis sein. Komme da aber nicht drauf.
  ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

Es tut mir leid aber die Schritte helfen mir nicht. Ich wünschte es wäre anders aber dem ist nicht so. Ich werde nochmal in anderen Foren lesen. Vielleicht verstehe ich es dort besser.   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

Du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht. Definitionen in Mathe sind meistens so trocken zu lesen wie sie geschrieben sind. Was da nicht drin steht juckt dich erstmal nicht. Versuchen wir es damit. Erkennst du hier \(a_n(z-3)^n\) was \(z_0\) ist?   ─   gardylulz 1 Monat, 3 Wochen her

@gardylulz, ja, an dieser Stelle wurde 3 als z0 gewählt.   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

@gardylulz, wenn der Konvergenzradius in dieser Aufgabe 2 wäre, würde das bedeuten z müsse 5 sein wegen 5 - 3 =2?   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

Wenn dem so ist, dann verstehe ich zumindest z und z0 jetzt. Was ich aber noch nicht so ganz verstehe ist wie ich durch an = n^5 in meiner obersten Aufgabe auf dem Radius 2 komme, was wohl richtig ist. Den Ansatz von Gerdware verstehe ich auch etwas aber da weiß ich nicht wieso er bei n^5/n also limes sup und Wurzel Kriterium auf 1 kommt.   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

a_n ist nicht n^5, setze doch einfach mal in die allg. Form ein, mit einem z_0, z.B. z_0=3. Dann Probe: Ist a_n(z-z_0)^n=n^5(z-3)^n dasselbe wie n^5(z/(-2))^n für ALLE n und ALLE z? Nein, dann probiere andere a_n, andere z_0. Wie schon gesagt, probiere einfach. Sag dann konkret, welche a_n und welche z_0 Du probiert hast.
PS: Klammern darf man auch auflösen.
  ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

@pabelito89 Gut, in dieser Form hast du \( z_0\) richtig erkannt. Dann nähern wir uns doch mal langsam an deine Aufgabe. Was wäre denn \( z_0\) hier \( a_nz^n \) ? Wenn du das erkennst, dann solltest du eigtl. auch schon \(z_0\) in deiner Aufgabe erkennen können.

Du kannst natürlich mikns Fragen überlegen und beantworten. Genau lesen, was er schreibt und nichts zusätzliches hinein interpretieren. Einfach stur seine Punkte abarbeiten.
  ─   gardylulz 1 Monat, 3 Wochen her

@mikn, Vorgehensweise also zum Beispiel:
-für n=1 und z=2 z0=1 fehlgeschlagen, da 1^1*(5-3)^1
! = (ungleich) 1^1*(5/(-2))^1
Weiter einsetzen:
für n=2 und z=2 z0=1 Ergebnis korrekt, da 2^1*(2-1)^2
= 2^1*(2/(-2))^2

Ist die Vorgehensweise so korrekt?


  ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

Wie erkennt man denn jetzt genau aus dieser Vorgehensweise den Konvergenzradius?   ─   pabelito89 1 Monat, 3 Wochen her

Ja, Vorgehensweise korrekt, aber ein Treffer reicht nicht, es muss für ALLE z und ALLE n passen. Kannst auch erstmal nur z0 probieren und n und z variabel lassen. Wenn Du dann daraus a_n gefunden hast (gleichzeitig damit findest Du auch z0), dann gibt es für den Konv-radius Formeln, wie man den aus an berechnet (und NUR aus an, in an kommt kein z und kein z0 vor).   ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

Wie lange muss ich diesen Weg denn gehen bis ich den Konvergenzradius bekomme und wie erkenne ich ihn aus dieser Vorgehensweise? Wenn es für alle Z gelten muss, wieviel soll ich ausprobieren? Und wie ist das weitere Vorgehen?   ─   pabelito89 1 Monat, 2 Wochen her

Bitte lies doch meine vorigen Kommentar. Wenn ich viele Male dasselbe sage, hilft es Dir doch auch nicht, gibt nur verwirrende lange Dialoge hier. Das Vorgehen dient nur dazu, an und z0 zu finden. s.o.   ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

Ich verstehe deine vorherigen Kommentare nur teilweise. Und daher schreibe ich dir hier und nicht um dich zu triggern. Ich wünschte mir auch ich wäre ein Experte was Potenzreihen angeht aber der bin ich nicht. Du schreibst immer nur in kleinen Häppchen. Ich danke dir, dass du mir versuchst zu helfen. Aber dieses Häppchen Weise erklären hilft mir leider nicht. Ich habe schon oft deine Kommentare gelesen aber mir fehlen noch viele Erklärungen. Was zum Beispiel ist a(n) an der Potenzreihe wenn nicht nur n^5?Wie ist das weitere Vorgehen wenn der Weg den ich ging für alle Zahlen gelten muss? Alle ausprobieren kann ich ja wohl kaum. Verzeih mir, dass ich kein Experte bin und dieses Thema noch verstehen lernen muss   ─   pabelito89 1 Monat, 2 Wochen her

Die Häppchen gebe ich dir damit Du in kleinen Schritten (große Schritte sind für Experten) weiter kommst. In meinem Kommentar, wo in der letzten Zeile "PS:..." steht, steht alles drin. Anders kann ich es nicht ausdrücken.   ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her
Kommentar schreiben Diese Antwort melden