Wie ermittelt man bei einer solchen Reihe den Konvergenzradius und was bedeutet in diesem Kontext das z?

Aufrufe: 686     Aktiv: 04.12.2020 um 12:51
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Hallo zusammen, wie ermittelt man in diesem Fall den Konvergenzradius und welche Bedeutung hat in diesem Kontext das z? Vielen Dank für die Hilfe.

 

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Student, Punkte: 36

 
Hast du denn mal spaßeshalber ein paar Werte ausgerechnet ? Was stellst du fest ?   ─   markushasenb 24.11.2020 um 14:32
Ich verstehe alleine nicht wofür manche Variablen stehen zum Beispiel z und was ich dafür einsetzen soll. Da fängt es schon an. Und die Erklärungen, die ich bisher fand halfen mir nicht weiter. Ich weiß auch nicht was ich als z0 für Entwicklungspunkt wählen soll. In manchen Beispiel Aufgaben wurde der Teil mit z am Anfang ignoriert und nur der Teil mit n per Quotientenkriterium oder Wurzel Kriterium ausgerechnet. Bei dieser Reihe geht das aber nicht, da z durch einen Wert (-2) geteilt wird und ich denke, dass es wichtig sein wird. Die Lösung der Aufgabe ist wohl 2 aber ich weiß nicht wie man darauf kommt.   ─   pabelito89 29.11.2020 um 11:33
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Die allg. Form einer Potenzreihe ist \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n\). \(z_0\) ist der Entwicklungspunkt, \(a_n\) sind die Koeffizienten. Bestimme zuerst \(z_0\) und \(a_n\) für die Reihe in Deiner Aufgabe (Probe!). Aus den \(a_n\) bestimmt man den Konvergenzradius \(\rho\) (schau in Deine Unterlagen!). Die Reihe konv. dann für alle \(z\) mit \(|z-z_0|<\rho\).

So geht man da ran, also fang an und lass sehen, was Du an Ergebnissen erzielst.

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Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Aha ok, danke. Und wenn z0 der Entwicklungspunkt ist, was ist dann z?
Wie wählt man den Entwicklungspunkt aus? Muss man dabei irgendwas beachten oder kann man dafür willkürliche Werte benutzen?   ─   pabelito89 24.11.2020 um 15:48
Für n werden natürliche Zahlen eingesetzt. Das verstehe ich. Was ich für z einsetzen soll verstehe ich leider immer noch nicht.
Kann es sein, dass man z erstmal sich nur wie ein n vorstellen muss, dann auch irgendwelche Zahlen einsetzt um dann das Wurzel Kriterium mit Cauchy Hadamard oder Quotientenkriterium mit Cauchy Hadamard anzuwenden?   ─   pabelito89 24.11.2020 um 16:28
Entwicklungspunkt als Begriff verstehe ich leider auch noch nicht zu 100%. Ist das ein Startpunkt so ähnlich wie bei der Newton Nullstellen Berechnung ?   ─   pabelito89 24.11.2020 um 16:29
Mikn, ich versuche es ja aber wenn ich nur diese Definition lese die du mir lieferst und die deckungsgleich mit anderen typischen Definitionen ist, sagt mir das leider nicht viel. Sorry. Ich würde gerne einfach nur von dir wissen, wie ich mit dem z umgehen soll? Ignorieren oder wie ein n behandeln?   ─   pabelito89 24.11.2020 um 16:35
Was nimmt man denn dann für z0 als Entwicklungspunkt? Irgendeine willkürliche Zahl? Woher weiß ich, was ich als Entwicklungspunkt benutze, wenn z einfach nur wie x bei f(x) betrachtet wird, was du ja oben angedeutet hast? Deine Definition ist ja deckungsgleich mit der aus den meisten Mathe Büchern. Ich verstehe nur noch nicht die Zusammenhänge zwischen z-z0.   ─   pabelito89 27.11.2020 um 13:10
Was ich bis jetzt als Praxisbeispiel einer Potenzreihe kenne und verstehe ist die McLaurin Taylor Reihe mit der man Cosinus und Sinus unter anderem approximieren kann. Aber hier hat man ja nur eine Variable, ein x und zwar das gewünschte Bogenmaß wozu man den Sinus oder Cosinus Wert ermitteln will.   ─   pabelito89 27.11.2020 um 13:15
Also muss ich folgende Formel ausrechnen und für z0 willkürliche Werte einsetzen?! a^5*((z-z0)/-2)^n?

Wenn ich den Konvergenzradius ausrechne nur mit dem a n Teil, wie von dir oben erläutert, müsste 2 das Ergebnis sein. Komme da aber nicht drauf.   ─   pabelito89 29.11.2020 um 11:26
Es tut mir leid aber die Schritte helfen mir nicht. Ich wünschte es wäre anders aber dem ist nicht so. Ich werde nochmal in anderen Foren lesen. Vielleicht verstehe ich es dort besser.   ─   pabelito89 29.11.2020 um 11:48
Du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht. Definitionen in Mathe sind meistens so trocken zu lesen wie sie geschrieben sind. Was da nicht drin steht juckt dich erstmal nicht. Versuchen wir es damit. Erkennst du hier \(a_n(z-3)^n\) was \(z_0\) ist?   ─   anonym179aa 29.11.2020 um 13:00
@gardylulz, ja, an dieser Stelle wurde 3 als z0 gewählt.   ─   pabelito89 29.11.2020 um 13:22
@gardylulz, wenn der Konvergenzradius in dieser Aufgabe 2 wäre, würde das bedeuten z müsse 5 sein wegen 5 - 3 =2?   ─   pabelito89 29.11.2020 um 13:25
Wenn dem so ist, dann verstehe ich zumindest z und z0 jetzt. Was ich aber noch nicht so ganz verstehe ist wie ich durch an = n^5 in meiner obersten Aufgabe auf dem Radius 2 komme, was wohl richtig ist. Den Ansatz von Gerdware verstehe ich auch etwas aber da weiß ich nicht wieso er bei n^5/n also limes sup und Wurzel Kriterium auf 1 kommt.   ─   pabelito89 29.11.2020 um 13:27
@pabelito89 Gut, in dieser Form hast du \( z_0\) richtig erkannt. Dann nähern wir uns doch mal langsam an deine Aufgabe. Was wäre denn \( z_0\) hier \( a_nz^n \) ? Wenn du das erkennst, dann solltest du eigtl. auch schon \(z_0\) in deiner Aufgabe erkennen können.

Du kannst natürlich mikns Fragen überlegen und beantworten. Genau lesen, was er schreibt und nichts zusätzliches hinein interpretieren. Einfach stur seine Punkte abarbeiten.   ─   anonym179aa 29.11.2020 um 14:30
@mikn, Vorgehensweise also zum Beispiel:
-für n=1 und z=2 z0=1 fehlgeschlagen, da 1^1*(5-3)^1
! = (ungleich) 1^1*(5/(-2))^1
Weiter einsetzen:
für n=2 und z=2 z0=1 Ergebnis korrekt, da 2^1*(2-1)^2
= 2^1*(2/(-2))^2

Ist die Vorgehensweise so korrekt?


  ─   pabelito89 03.12.2020 um 20:27
Wie erkennt man denn jetzt genau aus dieser Vorgehensweise den Konvergenzradius?   ─   pabelito89 03.12.2020 um 20:34
Wie lange muss ich diesen Weg denn gehen bis ich den Konvergenzradius bekomme und wie erkenne ich ihn aus dieser Vorgehensweise? Wenn es für alle Z gelten muss, wieviel soll ich ausprobieren? Und wie ist das weitere Vorgehen?   ─   pabelito89 04.12.2020 um 12:00
Ich verstehe deine vorherigen Kommentare nur teilweise. Und daher schreibe ich dir hier und nicht um dich zu triggern. Ich wünschte mir auch ich wäre ein Experte was Potenzreihen angeht aber der bin ich nicht. Du schreibst immer nur in kleinen Häppchen. Ich danke dir, dass du mir versuchst zu helfen. Aber dieses Häppchen Weise erklären hilft mir leider nicht. Ich habe schon oft deine Kommentare gelesen aber mir fehlen noch viele Erklärungen. Was zum Beispiel ist a(n) an der Potenzreihe wenn nicht nur n^5?Wie ist das weitere Vorgehen wenn der Weg den ich ging für alle Zahlen gelten muss? Alle ausprobieren kann ich ja wohl kaum. Verzeih mir, dass ich kein Experte bin und dieses Thema noch verstehen lernen muss   ─   pabelito89 04.12.2020 um 12:28

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.