Parameterfreie Form einer Ebene

Aufrufe: 1054     Aktiv: 02.06.2020 um 22:25
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Hilfe...ich hatte zwar ein ähnliches Beispiel in der Übung aber da ging mir alles zu schnell und ich konnte nicht folgen, was da gerade passiert, deswegen brauch ich dringend ein wenig Unterstützung bei der Aufgabe.

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Student, Punkte: 86

 
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Ich weiß nicht, ob das die beste oder die "richtige" Art ist, aber eine Möglichkeit ist:

Aus der Parameterdarstellung bekommst du 3 Punkte. Setze diese in die allgemeine Koordinatengleichung für Hyperebenen `a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4+a_5x_5 = b` ein.

Das ergibt ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen für die 6 Unbekannten `a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, b` mit einem 3-dimensionalen Lösungsraum. Wähle 3 linear unabhängige Lösungen. Die dazugehörigen Hyperebenen sind das, was du suchst.

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
Also die Punkte B und C hab ich herausgefunden und das GLS aufgestellt. Erste Frage: ist das b auf der rechten Seite bei allen Gleichungen dasselbe b?
Zweite Frage: wie wähle ich denn drei linear unabhängige Lösungen?   ─   karamellkatze 01.06.2020 um 20:13
Nein, b ist genauso variabel wie die andern Koeffizienten. Man kann da zwar willkürlich eine Zahl wählen, aber dann ist die Lösungsmenge kein Unterraum mehr.
Du bestimmst die allgemeine Lösung des LGS. Diese ist ein 3-dimensionaler Unterraum von `RR^6`, hat also 3 Parameter. Wenn du jeweils zwei davon = 0 setzt und den dritten = 1, erhältst drei Basisvektoren dieses Unterraums, also drei linear unabhängige Lösungen.   ─   digamma 01.06.2020 um 20:19
Und wie bestimme ich die allgemeine Lösung?   ─   karamellkatze 02.06.2020 um 19:55
\(P(-1,2,3,0,1)\) in die Hyperebene ergibt \(-a_1+2a_2+3a_3+a_5 =b\)   ─   holly 02.06.2020 um 20:08
Ja genau, für B und C hab ich das auch bereits gemacht:
-x_1 + 3x_2 + 4x_3 - 2x_4 + x_5 = b und
4x_2 + 2x_4 + 4x_5 = b
Was mach ich als nächstes?   ─   karamellkatze 02.06.2020 um 20:18
< Kommentar versehentlich gelöscht >   ─   holly 02.06.2020 um 20:31
Dann würde für x_2 herauskommen 1/4. Setz ich dann in der nächsthöheren Gleichung x_3 gleich t um x_1 auszurechnen? (Ich hab da nämlich irgendwas mit Nichtleitunbekannte im Kopf)   ─   karamellkatze 02.06.2020 um 20:49
\(a_2=\frac14\) ist schon mal richtig, nun muss du das in die anderen beiden Zeilen des LGS einsetzen. Hier muss nichts gleichgesetzt werden, denn wir haben drei Gleichungen und drei Variablen.   ─   holly 02.06.2020 um 20:58
Wir haben das LGS:
\(-a_1+2a_2+3a_3 =1\\-a_1+3a_2+4a_3=1\\4a_2=1\)
nun bekommen wir als einzige Lösung \(a_1=-\frac54,a_2=\frac14,a_3=-\frac14\).
Dann haben wir eine der drei Hyperebenen, die wir berechnen wollen. Dann stellen wir ein neues LGS auf mit \(a_4=0,a_5=1,b=0\) und noch eins mit \(a_4=1,a_5=0,b=0\).   ─   holly 02.06.2020 um 21:27
Ahh okay, ich denke jetzt hab ich's. Dankeschön!!   ─   karamellkatze 02.06.2020 um 22:07
gerne   ─   holly 02.06.2020 um 22:25

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