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Man muss nicht unbedingt über die Faltung gehen. Ein Index-Shift wäre auch möglich, also statt \( i \) von \( 0 \) bis \( n \) laufen zu lassen, kann man auch \( j=n-i \) von \( 0 \) bis \( n \) laufen lassen. Dann erhält man \( \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} = \sum_{j=0}^n a_{n-j} b_j \). Und das führt dann auch zum Ziel.
Deine Lösung geht so aber nicht. Aus \( \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_{n-i} a_i ) x^n \) kannst du nicht einfach \( b \cdot a \) machen, denn nach Definition ist ja \( b \cdot a = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_i a_{n-i} ) x^n \) und das ist (erstmal) nicht das gleiche wie \( \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_{n-i} a_i ) x^n \).
Deine Lösung geht so aber nicht. Aus \( \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_{n-i} a_i ) x^n \) kannst du nicht einfach \( b \cdot a \) machen, denn nach Definition ist ja \( b \cdot a = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_i a_{n-i} ) x^n \) und das ist (erstmal) nicht das gleiche wie \( \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_{n-i} a_i ) x^n \).
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Zur zweiten Frage: Die \( a_i \) und die \( b_i \) kommen ja aus einem Körper. Dort gilt ja per Definition das Kommutativgesetz. Also ist \( b_i a_{n-i} \) das gleiche wie \( a_{n-i} b_i \). Das hast du ja in deiner Lösung auch verwendet. Und mehr braucht man eigentlich nicht.
\( a \cdot b \) \( = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} ) x^n \) \( = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{j=0}^n a_{n-j} b_j ) x^n \) \( = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{j=0}^n b_j a_{n-j} ) x^n \) \( = b \cdot a \) ─ 42 12.10.2021 um 16:31