Menge der Polynome über Körper K

Aufrufe: 88     Aktiv: 13.10.2021 um 10:04

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Hab hier einen Beweis fuer die Kommutativitaet




Warum muss man bei (1), um die Kommutativitaet zu Beweisen, die Faltung verwenden und nicht so wie ich es bei (2) gmacht hab. Verstoesst man da gegen irgend eine Vorgeschriebene Regel?

Faltung: 

EDIT vom 11.10.2021 um 17:57:



hab das mal so gemacht, bin mir aber unsicher ob man das ueberhaupt darf.
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Man muss nicht unbedingt über die Faltung gehen. Ein Index-Shift wäre auch möglich, also statt \( i \) von \( 0 \) bis \( n \) laufen zu lassen, kann man auch \( j=n-i \) von \( 0 \) bis \( n \) laufen lassen. Dann erhält man \( \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} = \sum_{j=0}^n a_{n-j} b_j \). Und das führt dann auch zum Ziel.

Deine Lösung geht so aber nicht. Aus \( \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_{n-i} a_i ) x^n \) kannst du nicht einfach \( b \cdot a \) machen, denn nach Definition ist ja \( b \cdot a = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_i a_{n-i} ) x^n \) und das ist (erstmal) nicht das gleiche wie \( \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_{n-i} a_i ) x^n \).
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Danke für deine Antwort. Sie wirft aber zwei Fragen auf:
1. heißt das ist (erstmal) nicht das gleiche, weil wir Kommutativität noch nicht bewiesen haben?
2. Wie rechnest du mit deinem Vorschlag weiter? Darf man da einfach umstellen, so dass es $b \cdot a = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_i a_{n-i} ) x^n$ ergibt?
  ─   skinnybug 11.10.2021 um 15:40

Ich habe "erstmal" geschrieben, weil die Summen \( \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_i a_{n-i} ) x^n \) und \( \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n b_{n-i} a_i ) x^n \) im Endeffekt schon gleich sind. Man sieht es aber auf den ersten Blick nicht.
Zur zweiten Frage: Die \( a_i \) und die \( b_i \) kommen ja aus einem Körper. Dort gilt ja per Definition das Kommutativgesetz. Also ist \( b_i a_{n-i} \) das gleiche wie \( a_{n-i} b_i \). Das hast du ja in deiner Lösung auch verwendet. Und mehr braucht man eigentlich nicht.
\( a \cdot b \) \( = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} ) x^n \) \( = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{j=0}^n a_{n-j} b_j ) x^n \) \( = \sum_{n=0}^\infty ( \sum_{j=0}^n b_j a_{n-j} ) x^n \) \( = b \cdot a \)
  ─   anonym83bed 12.10.2021 um 16:31

ok, danke fuer die antwort   ─   skinnybug 13.10.2021 um 10:04

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