Jede quadratische Matrix \(A\) kann zerlegt werden in \(A = QUQ^{H}\), wobei \(Q\) eine unitaere Matrix ist und \(U\) eine obere Dreiecksmatrix. Das is die Schurzerlegung, welche offensichtilich auch eine Aehnlichkeitstransformation ist, d.h. Eigenwerte von \(A\) sind die selben Eigenwerte von \(U\). Somit ergibt sich

$$\det(A) = \det(QUQ^\top) = \det(Q)\det(U)\det(Q^\top) = \prod_{i=1}^n U_{ii } =  \prod_{i =1}^n \lambda_i$$

da \(\det(Q) = \det(Q^H) = \pm1 \) und Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind die Diagonaleintraege selber.