Hallo

Ja also leider kann ich dir nicht einfach alles Vorrechnen, aber ich geb dir mal gewisse Hinweise und dann kannst du ja einfach nachhaken, so können wir die Aufgabe in einem Dialog erarbeiten damit du es für dich verstehst.
Zu beginn möchte ich nur kurz klarstellen was du zeigen musst für einen Untervektorraum:

Sei \((V,+,\cdot)\) ein Vektorraum über dem Körper K. Wir nennen \(U\) einen Untervektorraum genau dann wenn folgende Punkte erfüllt sind:

1. \(U \subset V\)
2. \(U \neq \emptyset \Leftrightarrow 0\in U\)
3. \(\forall a,b\in U: a+b\in U\)
4. \(\forall \alpha \in K, b \in U: \alpha \cdot b \in U\)

Alternativ könntest du auch alle Vektorraumaxiome beweisen und zusätzlich noch zeigen, dass U eine Teilmenge von V ist, aber so geht es schneller.

Nun gut ich nehme an das ist dir bekannt. Schauen wir uns mal die Aufgabe 3.1 an, genauer gesagt einfach die Menge, denn das schwierigste ist es, die Menge so uzuschreiben, dass man sie dann auch zum beweisen brauchen kann. Wir haben also
\(U=\{v|v=(v_1,v_2,v_3,v_4)^T \,\,\, und\,\,\, v_1-v_2+v_3=0 \,\,\, (1)\,\,\,und\,\,\,v_2+2v_3-v_4=0 \,\,\, (2)\}\)

Na gut wir bemerken dass v zwar mit 4 Komponenten gekennzeichnet ist, jedoch bringt uns das noch nicht viel, aber wir haben auch gewisse Eigenschaften der Komponenten gegeben, nämlich diese Zwei gleichungen. Also haben wir indirekt zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten, welches nicht eindeutig gelöst werden kann aber das ist auch gut so, was wir nun machen ist wir versuchen diese Gleichungssystem so gut wie möglich zu lösen, damit wir dann vielleicht noch mehr über die Komponenten von v herausfinden können.
Wir lösen Gleichung (1) nach \(v_2\) auf:
\(v_2=v_1+v_3\) 
Setzen v_2 in Gleichung (2) ein:
\(v_1+v_3+2v_3-v_4=0 \Leftrightarrow v_1+3v_3=v_4\)

So mehr können wir nicht machen aber nun können wir in unserem v jeweils \(v_2\) und \(v_4\) ersetzen und erhalten 
\(U=\{v|v=(v_1,v_1+v_3,v_3,v_1+3v_3)^T: v_1,v_3 \in \mathbb{R}\}\)
So und nun hast du das ganze schon ziemlich vereinfacht und siehst, dass in U alle Vektoren v enthalten sind, die die folgende Gleichung erfüllen:
\(v=v_1\cdot (1,1,0,1)^T +v_3\cdot (0,1,1,3)^T\)
(also falls ich mich da nicht irgendwo verrechnet habe)
Na gut und ich meine mit dem kannst du ja die Punkte von oben beweisen.

Ich hoffe es ist dir klar und entschuldige mich bereits jetzt schon falls irgend wo ein Rechenfehler ist, der Weg zumindest ist so korrekt.