Hesse Normal Formel, Abstand Punkt zur Ebene, wie mache ich das?

Erste Frage Aufrufe: 584     Aktiv: 02.05.2021 um 12:30

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https://youtu.be/yf21LpD32K4 Welche Punkte P(0|0|k) haben den Abstand 3 zur x1-x2-Ebene?
Die Lösung ist natürlich k=±3 aber wie komme ich darauf? Ich komme auch nicht darauf wie ich aus der Parameterform auf die Koordinatenform komme. Ich kann aus den drei Gleichungen x1=r 
x2=s
x3=0
Nicht wie im Video eine Gleichung machen

Die Aufgabe an sich habe ich von SimpleClub auf YouTube aber dort habe ich die Erklärung nicht verstanden.






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leider sieht man das Bild nicht   ─   karate 01.05.2021 um 22:35
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Trotz zweier Antworten probiere ich es nochmal mit einer 3ten^^;

man sollte sich merken, wie die Koordinatenformen der Koordinatenebenen lauten; hier \(x_3=0\) in die Hesseform (in Koordinatenschreibweise), 

\( \frac{\vert0x_1+0x_2+x_3-0\vert}{\sqrt{0+0+1}}\ = \ \frac{\vert x_3\vert}{\sqrt{1}} \)  eingesetzt führt das zu:

\(\frac{\vert k\vert}{1} \ =\ 3\); und damit zu \(k_1=3\ und \ k_2=-3\)

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selbstständig, Punkte: 11.89K

 

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Also du musst ja die x1-x2-Ebene betrachten. Dabei hoffe ich weisst du dass der Normalvektor der x1-x2-Ebene \(n=(0,0,1)^T\) ist. Das heisst du kannst die Koordinatengleichung der x1-x2-Ebene aufstellen und erhälst \(E=0\cdot x+0\cdot y +1\cdot z=z\). So was du nun machen ist zu schauen welche Punkte \(P=(0,0,k)\) den Abstand 3 zur Ebene haben. Also nun versuchen wir das Mathematisch herzuleiten, ich meine wie du schon gesagt hast sieht man dass \(k_1=3,k_2=-3\) sein sollte, aber überprüfen wir das:
Also du weisst dass \(n\) also der normalvektor senkrecht auf der Ebene \(E\) steht und zusätzlich gilt, dass der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt und der Ebene die Strecke ist, senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht. Na gut, also wir wissen dass der Punkt auf der z-Achse liegen muss, zusätzlich bemerken wir dass n bereits normiert ist, das heisst dass \(|n|=\sqrt(0^2+0^2+1^2)=\sqrt(1^2)=1\) ist (als die Länge ist 1. Ja gut also nehmen wir doch denk Punkt in dem die Ebene die z-Achse schneidet, ist ja klar dieser ist \((0,0,0)\). Gut nun müssen wir ja an diesen Punkt nur genau 3 mal unser n ranhängen (natürlich nach oben und nach unten, denn dann kriegen wir die Zwei punkte die genau den Abstand 3 zur Ebene haben. Um herauszufinden wie viel mal ich n anhängen muss half mir genau dass die Länge von n=1 ist, wenn dem nicht so wäre, wäre es einfacher wenn man n stauchen, bzw. strecken würde um auch auf 1 zu kommen, damit lässt sich einfacher rechnen. So nun genug gesagt machen wir das also:

\((0,0,0)^T\pm 3\cdot n=(0,0,0)^T\pm3\cdot (0,0,1)^T=(0,0,0)^T \pm (0,0,3)^T=\pm (0,0,3)^T\)

dieses T bedeutet nichts anderes, als dass ich den Vektor senkrecht schreibe anstatt wagrecht.
So und wir sind fertig.

bei Fragen kannst du dich gerne nochmals melden!
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Student, Punkte: 1.95K

 

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Ich weiß nicht, warum man da überhaupt rechnen muss. Die Punkte P liegen alle auf der z-Achse. Die Frage ist also: welche Punkte der z-Achse haben den Abstand 3 zur x-y-Ebene? Dazu braucht man keine Parameterform oder Koordinatenform oder sonstwas. Ist ne Aufgabe für die Schule, Mittelstufe.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.54K

 

Ja klar, das war mir bewusst, jedoch wusste ich nicht genau was er für einen Ansatz gesehen hatte und dachte mal, dass ich ihm aufzeige wie man rechnerisch dahin kommt, damit er es auch im ähnlichen Stil anwenden kann für Beispiele wo die Ebene nicht gerade so schön ist und auch der Punkt nicht auf irgend einer Koordinatenachse liegt. Aber vielleicht hast du recht und mein Gedanke war kontraproduktiv.   ─   karate 01.05.2021 um 23:15

Okei ja hast recht ich sehe deinen Punkt vielen Dank für den Hinweis!   ─   karate 02.05.2021 um 08:30

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