Konvergenzradius Potenzreihe

Aufrufe: 104     Aktiv: 25.08.2021 um 22:38

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Es geht um den Konvergenzradius dieser Potenzreihe:

In der Lösung substituieren sie \( t:= (x+1)^2 \) und schreiben für den Konvergenzradius dann:



Der Rest ist dann klar, aber ich frage mich: wieso \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \)? Im Skript steht es genau andersherum: \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \).

Ich habe mal beide durchgerechnet und komme

für \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) auf \( \frac{1}{n+1} \)
für \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \) auf \( \frac{(n+1)!}{(n+1)!} = 1 \), was falsch ist. Ich bin mir sicher, dass ich falsch gekürzt habe, daher meine zweite Frage. Wird beim Schritt n -> n+1 aus 2n! -> 2(n+1)!  ? Wenn ja, gehe ich recht in der Annahme, dass ich da nicht ausmultiplizieren kann, sondern das als \( 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3 \ldots \cdot (n+1) \) sehe und die 2 dann idealerweise mit einer 2 aus dem Nenner kürze? Das wäre dann ein Gegensatz zu (2n)!, was zu (2n+2)! würde. Ist mein Gedankengang richtig?
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Bei der Fakultät musst du natürlich Klammern setzen.   ─   cauchy 24.08.2021 um 21:16

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Also wird das 2n des Bin.koeff. im Zähler zu (2n)! und damit das (n+1) zu (2(n+1))!=(2n+2)!, richtig?   ─   akimboslice 24.08.2021 um 21:24
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3 Antworten
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Weil das Quotientenkriterium und das Ausrechnen des Konvergenzradius zwei verschiedene Dinge sind.
Q-Krit: Kriterium für Konvergenz, arbeitet mit $\frac{a_{n+1}}{a_n}$.
Formel für Konvergenzradius (wikipedia-link): arbeitet mit $\frac{a_n}{a_{n+1}}$.
Genau lesen, was wozu dient. Verschiedene Fragestellungen erfordern verschiedene Ansätze. Ist aber alles dort richtig erklärt.
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https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Quotientenkriterium   ─   cauchy 25.08.2021 um 22:38

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Im Skript steht es dann falsch, so wie es hier gemacht wurde ist es richtig.
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Ist das wirklich so? 1. Mein Mathe-Professor, der das Skript geschrieben hat, ist nicht gerade auf den Kopf gefallen und macht den Fehler sicher nicht a) beim Satz und b) dann auch noch bei zig Beispielen.
2. Ich habe mal gegoogelt und sofort verschiedene Möglichkeiten gefunden: bei diesem Mann hier ist auch das (n+1) im Zähler https://www.youtube.com/watch?v=SNntX71AMjA
aber auf Wikipedia ist das (n+1) im Nenner: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

Scheint also mehr dahinter zu stecken.
  ─   akimboslice 24.08.2021 um 21:19

Wie ist der Satz des Profs formuliert?   ─   cauchy 24.08.2021 um 21:25

Quotientenkriterium, noch bevor es Potenzreihen gab, aber das ist ja vorliegend egal.

Satz: Es sei \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) eine Reihe in K. Ist \( a_n \neq 0 \) für alle \( n\in \) N und existiert der Grenzwert \( \lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n| \), so ist die Reihe
- abs. konvergent, wenn \( \lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n| < 1 \) ist und
- divergent, wenn \( \lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n| > 1\) ist
  ─   akimboslice 24.08.2021 um 22:06

Passt doch. Ich vermute, die Antwort bezieht sich auf die Lösung.   ─   cauchy 24.08.2021 um 22:35

Ich verstehe immer noch nicht, wieso im Skript das a_n im Nenner und in der Übung im Zähler ist.   ─   akimboslice 25.08.2021 um 12:45

Das a_n im Nenner ist vom Quotientenkriterium für allgemeine Reihen, bei Potenzreihen ist es aber im Zähler, da nur ein Teil der jeweiligen Summanden die Folge a_n ist. Kurz gesagt: es sind zwei unterschiedliche Folgen!   ─   mathejean 25.08.2021 um 13:48

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\(|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\frac{(2n)!\cdot (n+1)!(n+1)!}{n!n!\cdot (2n+2)!}=\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+2)}\rightarrow \frac{1}{4}\)
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1. Die Hauptfrage lautet, wieso a_n mal im Nenner und mal im Zähler ist.
2. Wieso konvergiert der letzte Bruchstrich gegen 1/4?
  ─   akimboslice 25.08.2021 um 12:44

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\(\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})}{(2+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})}\rightarrow \frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\)   ─   gerdware 25.08.2021 um 13:07

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