Hallo!

Substitution:

\(\displaystyle u = x^3-2 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{d}u = 3x^2\,\mathrm{d}x\).

Grenzen in die Substition einsetzen:

\(\displaystyle 1^2-2 = -1 \) und \(\displaystyle 0^3 - 2 = -2 \)

Also erhält man:

\(\displaystyle \frac{1}{3}\int_{-2}^{-1} \frac{1}{u^2}\,\mathrm{d}u \)

Zum zweiten Integral:

Partielle Integration:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} u\,\mathrm{d}v  = \left.uv\right\rvert_b^a - \int_{a}^{b} v\,\mathrm{d}u\). In diesem Fall entfallen die Integrationsgrenzen, idem est kannst Du sie ignorieren. Zu der Integration von \(\displaystyle \cosh(x)\):

Du musst wissen, dass \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh(x) = \cosh(x)\) gilt.

Zum letzten Integral:

Partialbruchzerlegung, also:

\(\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x+2)}  = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \quad\Longleftrightarrow\quad x = Ax - A + Bx + 2B \quad\Longleftrightarrow\quad x = (A+B)x - A +2B \). (Die \(3\) wurde weggelassen, nachher einfach nur noch dranmultiplizieren.)

Daraus folgen die beiden Gleichungen:

\(\displaystyle A + B = 1 \) und \(\displaystyle 2B - A = 0 \). Der Rest ist trivial.

Gruß.