Question

Kongruenzzeichen

Aufrufe: 325 Aktiv: 03.08.2022 um 18:03

0

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zum Kongruenzzeichen $\equiv$ und Modulo.

Ich habe die folgenden Schreibweisen gesehen:
$$ \begin{array}{ccc} a \mod m & \equiv & b \mod m \\ a & \equiv & b \mod m \\ a \mod m & \equiv & b \end{array} $$

Macht es einen Unterschied? Sind alle diese Schreibweisen erlaubt?

Und wir nutzen die Modulorechnung um vom Dezimalsystem in andere Stellenwertsysteme umzurechnen. Ist die folgende Schreibweise formal korrekt, um beispielsweise die 22 in das Trinärsystem umzuwandeln:
$$ \begin{array}{cccc} 22 \mod 3 & \equiv & 7 &\ \mathrm{Rest} \ 1 \\ 7 \mod 3 & \equiv & 2 & \ \mathrm{Rest} \ 1 \\ 2 \mod 3 & \equiv & 0 & \ \mathrm{Rest} \ 2 \end{array} $$

Oder kommt da eher ein Gleichheitszeichen hin?

Vielen Dank vorab und liebe Grüße
Chris

Teilen Diese Frage melden

gefragt 03.08.2022 um 09:42

chris2001
Student, Punkte: 40

Kommentar schreiben

1 Antwort

mathejean · Accepted Answer · 2022-08-03T09:47:40Z

1

Also die Schreibweise in der Mitte ist am geläufigsten. In den anderen beiden Fällen scheint Modulo eine Verknüpfung zu sein, die zwei Zahlen den Rest der Division zuordnet. Hier sollte man dann also konsequent ein Gleichheitszeichen verwenden. Wie wurde das den in deiner Vorlesung definiert?

Teilen Diese Antwort melden Link

geantwortet 03.08.2022 um 09:47

mathejean
Student, Punkte: 10.39K

Sind die anderen aber nicht falsch?
Also mich würde eigentlich am meisten die allgemeine Anwendung des Zeichens interessieren. Mir ist das Zeichen nun häufiger im Studium begegnet.
In der Zahlentheorie ist es klar, da kam es in Bezug zur Modulo Rechnung auf.
Nun hatte ich das aber beispielsweise auch oft bei Funktionen. Hier will man anscheinend keine direkte Gleichheit sondern eben eine Ähnlichkeit beschreiben. Bei Matrizen oder eben linearen Abbildungen macht es für mich Sinn, da die ähnlichen Abbildungen durch Veränderung des Koordinatensystems auseinander resultieren. Wir haben also eine gleiche Struktur, aber keine wirklich Gleichheit in dem Sinne.

Auch beispielsweise hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz_f%C3%BCr_holomorphe_Funktionen#Beispiel
Hier geht es ja auch darum, dass die Funktionen auf einer gewissen Menge gleich sind. Aber könnte man dann nicht auch $\sin(\frac 1 z) \neq 0 $ schreiben?

Also mein altes Zahlentheorie Skript müsste ich mal raussuchen und es nochmal nachprüfen. Aber ich hatte den Eindruck, dass dieses Zeichen zeigt, dass einige Strukturen gleich sind, aber keine wirkliche Exaktheit besteht. Deshalb hatte ich über die Schreibweise bei der Modulo Rechnung nachgedacht.
Und eigentlich dürfte es von der Aussage ja keinen wirklich Unterschied machen oder?

Sind die anderen aber nicht falsch?
Also mich würde eigentlich am meisten die allgemeine Anwendung des Zeichens interessieren. Mir ist das Zeichen nun häufiger im Studium begegnet.
In der Zahlentheorie ist es klar, da kam es in Bezug zur Modulo Rechnung auf.
Nun hatte ich das aber beispielsweise auch oft bei Funktionen. Hier will man anscheinend keine direkte Gleichheit sondern eben eine Ähnlichkeit beschreiben. Bei Matrizen oder eben linearen Abbildungen macht es für mich Sinn, da die ähnlichen Abbildungen durch Veränderung des Koordinatensystems auseinander resultieren. Wir haben also eine gleiche Struktur, aber keine wirklich Gleichheit in dem Sinne.

Auch beispielsweise hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz_f%C3%BCr_holomorphe_Funktionen#Beispiel
Hier geht es ja auch darum, dass die Funktionen auf einer gewissen Menge gleich sind. Aber könnte man dann nicht auch $\sin(\frac 1 z) \neq 0 $ schreiben?

Also mein altes Zahlentheorie Skript müsste ich mal raussuchen und es nochmal nachprüfen. Aber ich hatte den Eindruck, dass dieses Zeichen zeigt, dass einige Strukturen gleich sind, aber keine wirkliche Exaktheit besteht. Deshalb hatte ich über die Schreibweise bei der Modulo Rechnung nachgedacht. 
Und eigentlich dürfte es von der Aussage ja keinen wirklich Unterschied machen oder?

─ chris2001 03.08.2022 um 11:32

Weißt du was eine Äquivalenzrelation ist? Äquivalenzreationen bei dennen die Projektion auf den Quotienten ein Homomorphismus ist, nennt man manchmal Kongruenzrelation, hier ausführlicher: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kongruenzrelation

Das ist aber insofern problematisch, dass die Quotientenabbildung in einer geeigneten Kategorie immer ein Homomorphismus ist. In der Algebra (und auch moderne Zahlentheorie) würde man meistens einfach gleich schreiben, z.B. ist $0=42$ in $\mathbb{Z}/(42)$. In elementarer Zahlentheorie und deren Anwendungen wird das aber meistens noch mit Kongruenzzeichen gemacht, weil hier Quotienten nicht alltäglich sind, in moderne Algebra das ist aber ganz langweilig und man macht es täglich überall. Wenn du nur aus Interesse gefragt hast, empfehle ich dir das Buch Kategorientheorie von Brandenburg.

Lineare Algebra ist übrigens sehr gut geeignet um Quotienten zu verstehen, da sie hier alle eine konkrete geometrische Bedeutung haben (affine Unterräume). Ansonsten du hast vielleicht gesehen, dass wenn $F: V \to V$ ein Endomorphismus ist, $V$ endlich erzeugt und $U$ ist invariant unter $F$, wir können $\overline{F}: V/U \to V/U, v+U \mapsto F(v)+U$. Mit Hilfe der Dimensionsformel für lineare Abbildungen (ehr der Beweis davon), man sieht, dass es ausreicht $F_{|U}$ und $\overline{F}$ zu verstehen, um einiges über $F$ zu verstehen.

Weißt du was eine Äquivalenzrelation ist? Äquivalenzreationen bei dennen die Projektion auf den Quotienten ein Homomorphismus ist, nennt man manchmal Kongruenzrelation, hier ausführlicher: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kongruenzrelation

Das ist aber insofern problematisch, dass die Quotientenabbildung in einer geeigneten Kategorie immer ein Homomorphismus ist. In der Algebra (und auch moderne Zahlentheorie) würde man meistens einfach gleich schreiben,  z.B. ist $0=42$ in $\mathbb{Z}/(42)$. In elementarer Zahlentheorie und deren Anwendungen wird das aber meistens noch mit Kongruenzzeichen gemacht, weil hier Quotienten nicht alltäglich sind, in moderne Algebra das ist aber ganz langweilig und man macht es täglich überall. Wenn du nur aus Interesse gefragt hast, empfehle ich dir das Buch Kategorientheorie von Brandenburg.

Lineare Algebra ist übrigens sehr gut geeignet um Quotienten zu verstehen, da sie hier alle eine konkrete geometrische Bedeutung haben (affine Unterräume). Ansonsten du hast vielleicht gesehen, dass wenn $F: V \to V$ ein Endomorphismus ist, $V$ endlich erzeugt und $U$ ist invariant unter $F$, wir können $\overline{F}: V/U \to V/U, v+U \mapsto F(v)+U$. Mit Hilfe der Dimensionsformel für lineare Abbildungen (ehr der Beweis davon), man sieht, dass es ausreicht $F_{|U}$ und $\overline{F}$ zu verstehen, um einiges über $F$ zu verstehen.

─ mathejean 03.08.2022 um 12:04

Alles klar das hilft mir alles schon mal weiter. Vielen vielen Dank euch beiden :)

Ja es war eher eine Interessenfrage. Also es kam nochmal auf bei der Umrechnung der Stellenwertsysteme. Dort wurde uns aber nur beschrieben wie der Algorithmus mit Hilfe der Modulorechnung funktioniert. Es gab kein Beispiel, weswegen ich nicht sagen kann wie es genau aufgeschrieben wird. Deshalb hatte ich dann auch die Diskussion mit einem Kommilitonen, wann genau wie dieses Zeichen benutzt wird.
Es gibt also nicht wirklich die eine Angabe in meinem Skript.

Wie könnte ich es denn sauber schreiben? Eher das "entspricht"-Zeichen nutzen? Also
$$ \begin{array}{cccc} 22 \mod 3 & \mathrel{\hat=} & 7 &\ \mathrm{Rest} \ 1 \\ 7 \mod 3 & \mathrel{\hat=} & 2 & \ \mathrm{Rest} \ 1 \\ 2 \mod 3 & \mathrel{\hat=} & 0 & \ \mathrm{Rest} \ 2 \end{array} $$

Oder wäre hier dann wirklich nur das Gleichheitszeichen angebracht? ─ chris2001 03.08.2022 um 15:12

Also beim Modulo rechnen schaut man sich ja nur den Rest an, deshalb diese Schreibweise driftet jetzt noch mehr ab. Das ist einfach nur Division mit Rest, ich würde so aufschreiben: $22:3=7 +\frac 13$. So wie bei Polynomdivision, wenn du kennst ─ mathejean 03.08.2022 um 15:18

Hmm ok ja beim umrechnen in die Systeme braucht man ja sowohl wie oft der Dividend in den Divisor passt und wie viel Rest übrig ist. Deshalb fand ich es angenehm das so nebeneinander zu schreiben. Aber ist vielleicht wirklich einfach zu ungenau und eher für meine Nebenrechnung zu gebrauchen :D

Alles klar ich bedanke mich nochmal bei euch. Hat mir sehr geholfen! :) ─ chris2001 03.08.2022 um 16:25

Kommentar schreiben