Differentialrechnung - lineare Näherung?

Aufrufe: 528     Aktiv: 03.04.2021 um 14:32
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Ich habe gerade das Problem, leider überhaupt nichts von dem beschriebenen zu verstehen. Mir ist zwar klar, dass man, wenn man bspw. das Polynom f(x):= x³ - 2x² + 3x +4 definiert, man dieses alternativ zerlegen kann in f(x):= (x² -x +2 - (2)/(x-1)) * (x -1) (sofern man (x-1) wählt, was keine Nullstelle ist, und daher die Polynomzerlegung ein Ergebnis mit Rest liefert. Was jedoch + f(1) (also ein Zirkelbezug) bedeutet, ist mir leider völlig unklar. Zumal f(1) ja einen Wert liefert, das Polynom durch Zerlegen den Leitgrad 2 erreicht, und durch Addition eines Wertes der Grad eines Polynoms nicht steigen kann.
Wahrscheinlich steckt dahinter irgendeine Idee, die ich leider überhaupt nicht verstehe.

Vielen Dank euch :)


Quelle: ISBN: 978-3-209-07198-9


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Durch die Division mit Rest erhalten wir eine Zerlegung \( f(x)=m(x) \cdot (x-1) + r(x) \) für Polynome \(m\) und \( r \). Für die Grade gilt dann \( \deg(r) < \deg(x-1) = 1 \), also muss \( r \) ein konstantes Polynom sein. Wir haben also \( r(x) \) \( =r(1) \) \( =m(1) \cdot (1-1) + r(1) \) \( = f(1) \). Ersetzen wir dies in der obigen Zerlegung, dann erhalten wir \( f(x)=m(x) \cdot (x-1) + f(1) \).
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Danke :) Ich werde, habe ich jetzt beschlossen, aber Analysis auf den Sommer verschieben, da ich den Kurs sowieso erst im Herbst belege und mich auf Algebra beschäftigen, werde aber dann dank deiner Erklärung jedenfalls weniger Probleme haben, es entsprechend zu lernen, vielen dank :)   ─   sven03 03.04.2021 um 14:32

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Hätte man nur \(f(x)=m(x)\cdot (x-1)\), so wäre \(f(1)=0\), was ja nicht stimmen muss. Also rechnet man \(+f(1)\), damit auch tatsächlich \(f(1)=f(1)\) gilt.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Danke :) Also das bedeutet gegeben ist irgendein Polynom, das man (warum auch immer) mit (x - 1) zerlegt, sofern man 1 einsetzen würde, wäre aber (x-1) = 0, was nicht stimmen muss, deshalb rechnet man + f(1), sofern f(1) = 0, passiert nichts, wenn f(1) != 0, wäre aber der erste Teil 0, was nicht stimmt, also rechnet man + f(1), ok glaub ich verstanden)

Das Problem, das ich nur habe, warum wird Polynomdividiert durch (x-1)?, und sofern f(x) dividert wird durch (x-1) kommt ja m heraus, sofern (x-1) keine NS von f(x) ist, gibt es doch sowieso einen Rest oder? Oder funktioniert das Verfahren so, dass es keinen Rest gibt, wodurch das von vorhin gilt?
  ─   sven03 01.04.2021 um 21:57

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.