(Twitter)
2
Es hieß: "Es steht keine Substitutionsregel bei Folgengrenzwerten zu Verfügung".
Dazu wurde dann ein Beispiel einer alternierenden Folge angefügt:
\(lim_{n->{\infty}} \space (-1)^{2n}\)
Dieses würde gegen 1 konvergieren.
Bei einer Substitution mit \(2n=a\) würde der Ausdruck
\(lim_{a->{\infty}} \space (-1)^{a}\)
aber divergieren.
Das mag ja stimmen für diese alternierende Folge, aber ist das Grund genug, dass meine ursprüngliche Substitution oben als falscher Lösungsansatz gilt? ─ user114fb3 24.05.2021 um 18:45
Dazu wurde dann ein Beispiel einer alternierenden Folge angefügt:
\(lim_{n->{\infty}} \space (-1)^{2n}\)
Dieses würde gegen 1 konvergieren.
Bei einer Substitution mit \(2n=a\) würde der Ausdruck
\(lim_{a->{\infty}} \space (-1)^{a}\)
aber divergieren.
Das mag ja stimmen für diese alternierende Folge, aber ist das Grund genug, dass meine ursprüngliche Substitution oben als falscher Lösungsansatz gilt? ─ user114fb3 24.05.2021 um 18:45
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
ich wüsste jetzt nichts davon, dass man hier nicht substituieren darf. Prinzipiell muss man bei der Substitution aufpassen, da der Limesausdruck natürlich auch betroffen ist. Aber da du mit \( n^2 \) ebenfalls eine monton steigende Zuordnung hast, sollte das kein Problem darstellen.
Aber um auf Nummer sicher zu gehen, nutze doch dein Argument der Teilfolge.
Ihr habt ja anscheinend bewisen, dass
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^n \to e $$
Nun konvergiert jede (unendliche) Teilfolge einer konvergenten Folge selbst wieder gegen den Grenzwert. Ansonsten würden nämlich nicht "fast alle" Folgeglieder in direkter Umgebung des Grenzwertes liegen. Du müsstest also nur zeigen, dass hier tatsächlich eine Teilfolge vorliegt.
Grüße Christian ─ christian_strack 24.05.2021 um 17:25