Substitution bei Grenzwertuntersuchung

Erste Frage Aufrufe: 70     Aktiv: 24.05.2021 um 18:50

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Ich musste eine Aufgabe über Grenzwerte bearbeiten und es gab dabei zwei sehr ähnliche Folgen:

 \(lim_{n->{\infty}} \space (1+ \frac {1} {n})^n \)
und
 \(lim_{n->{\infty}} \space (1+ \frac {1} {n^2})^{n^2} \)

Die erste Folge konvergiert ja, bekanntlich gegen \(e\). Dies war nicht das Problem. 


Bei der zweiten Folge habe ich nun Substituiert: \(n^2=a\)
Somit hieß die Folge dann:
 \(lim_{a->{\infty}} \space (1+ \frac {1} {a})^{a} \)
Und das ist ja eine Folge, die gegen \(e\) konvergiert. 

Ich habe Substituiert mit dem Wissen, dass ja \(n^2\) eine Teilfolge von \(n\) darstellt. Trotzdem wurde mir gesagt, dass man nicht mit Substitution hier begründen darf. 

Meiner Meinung nach aber kann ich doch Substituieren, wenn die Folge so aussieht. Es war ja keine alternierende Folge oder ähnliches. 
Bitte um eine Aufklärung. 

gefragt

Punkte: 10

 

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Hallo,

ich wüsste jetzt nichts davon, dass man hier nicht substituieren darf. Prinzipiell muss man bei der Substitution aufpassen, da der Limesausdruck natürlich auch betroffen ist. Aber da du mit \( n^2 \) ebenfalls eine monton steigende Zuordnung hast, sollte das kein Problem darstellen.
Aber um auf Nummer sicher zu gehen, nutze doch dein Argument der Teilfolge.
Ihr habt ja anscheinend bewisen, dass
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^n \to e $$
Nun konvergiert jede (unendliche) Teilfolge einer konvergenten Folge selbst wieder gegen den Grenzwert. Ansonsten würden nämlich nicht "fast alle" Folgeglieder in direkter Umgebung des Grenzwertes liegen. Du müsstest also nur zeigen, dass hier tatsächlich eine Teilfolge vorliegt.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 24.05.2021 um 17:25

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1 Antwort
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Aus meiner Sicht ist Deine Argumentation völlig richtig.
Warum "darf" man denn nicht so argumentieren?
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Lehrer/Professor, Punkte: 14.12K
 

Es hieß: "Es steht keine Substitutionsregel bei Folgengrenzwerten zu Verfügung".
Dazu wurde dann ein Beispiel einer alternierenden Folge angefügt:
\(lim_{n->{\infty}} \space (-1)^{2n}\)
Dieses würde gegen 1 konvergieren.
Bei einer Substitution mit \(2n=a\) würde der Ausdruck
\(lim_{a->{\infty}} \space (-1)^{a}\)
aber divergieren.
Das mag ja stimmen für diese alternierende Folge, aber ist das Grund genug, dass meine ursprüngliche Substitution oben als falscher Lösungsansatz gilt?
  ─   user114fb3 24.05.2021 um 18:45

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Aha. Ja, diese Substitution greift eben nicht auf eine Teilfolge zurück, sondern da ist die alte Folge eine TF der neuen. Das geht nicht. Aber bei deiner Substitution ist die neue Folge eine TF der alten, da liegen die Dinge anders und das geht natürlich.   ─   mikn 24.05.2021 um 18:50

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