Beweis für Folge konvergiert gegen einen Wert

Aufrufe: 105     Aktiv: 07.07.2023 um 22:03
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Guten Tag,

warum muss man beweisen, dass z.B. die Folge \( a_{n}= 1+ \frac{1}{n}\) für n gegen \(\infty\) gegen 1 konvergiert?
Ich habe bisher gedacht, dass sowas bei solchen Folgen offensichtlich ist und habe meinen lim mit n gegen unendlich eingetragen und den Grenzwert berechnet.

ABER, warum beweisen viel das so und muss man das so machen???
\(Betrag( a_{n} - g) < \) ε

g steht hierbei für den Grenzwert und ε für einen sehr kleinen Wert.
Vielen Dank im Voraus.
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Moin,

so wie bei allen solchen Beweisen ist zu zeigen: Für $\epsilon >0$ gibt es ein $N\in\mathbb{N}$, so dass $$|g-a_n|<\epsilon $$für alle $n\ge N$. Also fixe ein beliebiges $\epsilon >0$. Es ist $g=1$, also $$|a_n-g|=|1+\frac{1}{n}-1|=|\frac{1}{n}|$$Nach der archimedischen Eigenschaft finden wir ein $N$ wie gewünscht. 

 

Solche Beweise sind absoluter Standart, man sollte sie so weit üben, bis man sie wirklich eigenständig führen kann.

LG

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