Erstmal wär es glaube ich besser, wenn du direkt mit Matrizen statt mit Gleichungssystem arbeitest, das ist normalerweise üblicher. Man bekäme also diese Koeffizientenmatrix:

$$\left( \begin{array}{rrrrr}2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\3 & 4 & 2 & -1 & 0 \\1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\\end{array}\right) $$

Also eigentlich sucht man nur den Kern von dieser Matrix:

$$\left( \begin{array}{rrrr}2 & 3 & 1 & 0 \\3 & 4 & 2 & -1 \\1 & 1 & 1 & -1 \\\end{array}\right) $$

Jetzt Gaußt man fröhlich:

\(\left( \begin{array}{rrrr}2 & 3 & 1 & 0 \\3 & 4 & 2 & -1 \\1 & 1 & 1 & -1 \\\end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{rrrr}0 & 1 & -1 & 2 \\0 & 1 & -1 & 2 \\1 & 1 & 1 & -1 \\\end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{rrrr}0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & -1 & 2 \\1 & 1 & 1 & -1 \\\end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & -1 \\0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\\end{array}\right)\)

Soweit warst du ja auch bereits. Nun müssen wir den Kern ablesen, dazu stellen wir uns die Matrix wieder als Gleichungssystem vor, und wir erhalten dann:

\( x_1 + x_2 + x_3 - x_4 = 0\)

\( x_2 - x_3 + 2x_4 = 0\)

Nun haben wir 4 Unbekannte, aber nur 2 Gleichungen. Dieses Gleichungssystem hat also mehrere Lösungen. Man wählt sich jetzt zwei von den Variablen einfach als als \( t_1\) und \( t_2\) aus und löst dann das LGS ganz normal. Man formt also um und erhält:

\( x_2 = x_3 - 2x_4\)

\( x_1 = -2x_3 + 3x_4\)

Jetzt sagt man einfach, \( x_3 = t_1\) und \( x_4 = t_2\) und bekommt dann halt

\( x_2 = t_1 - 2t_2\)

\( x_1 = -2t_1 + 3t_2\)

Das bedeutet also:

\( \ker\left( \begin{array}{rrrr}2 & 3 & 1 & 0 \\3 & 4 & 2 & -1 \\1 & 1 & 1 & -1 \\\end{array}\right)= \left\{ \left( \begin{array}{r}-2t_1 + 3t_2 \\ t_1-2t_2 \\t_1 \\ t_2 \\\end{array}\right), t_1,t_2\in\mathbb{R} \right\} = \left\{ \left( \begin{array}{r}-2t_1  \\ t_1 \\t_1 \\ 0 \\\end{array}\right)+\left( \begin{array}{r}3t_2\\ -2t_2 \\0 \\ t_2 \\\end{array}\right), t_1,t_2\in\mathbb{R} \right\} \)

= \( \left\{ t_1\left( \begin{array}{r}-2  \\ 1 \\1 \\ 0 \\\end{array}\right)+t_2\left( \begin{array}{r}3\\ -2 \\0 \\ 1 \\\end{array}\right), t_1,t_2\in\mathbb{R} \right\}\)

Jetzt weiss man, dass sich der Kern dieser Matrix aus den beiden Vektoren Linear kombinieren lässt, also hat man somit seine Basis (Ich nenn die Matrix mal A):

\(\ker(A) = span \left( \left( \begin{array}{r}-2  \\ 1 \\1 \\ 0 \\\end{array}\right), \left( \begin{array}{r}3\\ -2 \\0 \\ 1 \\\end{array}\right) \right) \)