F(x) = x^3 - 6x^2 + 32

Erste Frage Aufrufe: 101     Aktiv: 02.12.2021 um 04:34

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Wie Nullstelle berechnen?
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"Berechnen" im eigentlichen Sinn geht nicht (genauer: nicht so leicht). In Mathe-Aufgaben ist es aber oft so, dass man eine Nullstelle raten kann (weil es eine ganze Zahl ist, ausprobieren!). Mit dieser Kenntnis kann man durch Polynomdivision das Polynom einen Grad runterschrauben und dann mit der p-q-Formel den Fall abschließen.
Wenn man das Ausprobieren der Nullstelle mit dem Horner-Schema macht, geht es schneller und man spart sich die PD.
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Lehrer/Professor, Punkte: 20.67K

 

Danke dir   ─   user9ea049 01.12.2021 um 23:15

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Hi :) 

Hier musst du erst einmal eine Nullstelle raten, da es kein direktes (gescheites) Lösungsverfahren per Formel gibt. 

Also man sieht z.B. recht schnell, dass F(-2)=0 ist, sodass du mit dieser Nullstellen nun eine Polynomdivision durchführen kannst, wodurch du eine quadratische Funktion erhältst, deine Nullstelle(n) leicht zu berechen ist/ sind. 


Viele Grüße :)

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Schüler, Punkte: 3.63K

 

Danke dir   ─   user9ea049 01.12.2021 um 23:16

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In Ergänzung zu den anderen beiden Antworten, weil das mal wieder nicht erwähnt wurde: 

Wenn es darum geht, eine Nullstelle zu raten, braucht man nur die Teiler des absoluten Glieds zu testen, wenn vor dem $x^3$ nichts bzw. eine 1 steht. Das hier ist 32. Alle Zahlen, die zu testen sind, sind also $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$ und $\pm 32$. Man kann außerdem schnell einsehen, dass Zahlen wir $\pm 16$ oder sogar $\pm 32$ betragsmäßig viel zu groß sind und als Nullstellen gar nicht in Frage kommen. 

Wie schon erwähnt wurde, nutzt man dann die Polynomdivision oder das Horner-Schema zur Berechnung des Restpolynoms und der weiteren Nullstellen.
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Selbstständig, Punkte: 17.97K

 

Ich erwähne das ganz bewusst nicht, weil es nur in Ausnahmesituationen wie konstruierten Übungsaufgaben was bringt. Das mag hier der Fall sein.
In Deiner Ergänzung fehlt aber auf jeden Fall der Hinweis, dass das nur geht, wenn die Nullstellen ganzzahlig sind (alle).
  ─   mikn 01.12.2021 um 23:39

Stimmt. Dann funktioniert das garantiert, wenn die Aufgabe so konstruiert ist. Es kann aber auch funktionieren, wenn nicht alle Nullstellen ganzzahlig sind.

Gerade im schulischen Bereich sind aber gerade Aufgaben ohne Taschenrechner so konzipiert und daher darf und sollte man auf diesen "Tipp" sogar hinweisen. Für Anwendungsaufgaben sei dann anzumerken, dass für solche Gleichungen grundsätzlich der Taschenrechner erforderlich ist.
  ─   cauchy 01.12.2021 um 23:52

Danke! Ich wusste nicht, wie man Nullstellen errät...
Um die Polynomdivision anwenden zu können, muss ich dann ja das 0x einfügen oder?

aus 0 = x^3 - 6x^2 + 32
wird dann
0 = x^3 - 6x^2 + 0x + 32

und eben die erratene Nullstelle nehmen zum dividieren?

(x^3 - 6x^2 + 0x + 32) : (x+2) = ...
  ─   user9ea049 01.12.2021 um 23:59

@cauchy: stimmt alles. Ich bin etwas traumatisiert, weil ich jahrelang an der FH erklären musste, dass man Nullstellen im wirklichen Leben nicht durch Raten bestimmt und dass Polynomdivision keine Nullstellenbestimmungsmethode ist. Und es wird einem dann nicht geglaubt. Vielleicht wird das in der Schule so oft geübt, weil man so leicht Aufgaben generieren kann. Es bekommt in der Schule damit einen Stellenwert, den es im wirklichen Leben nicht hat. Eigentlich überflüssig.   ─   mikn 01.12.2021 um 23:59

Ja, so kann man vorgehen. WENN man eine Nullstelle erraten hat. Und, wie gesagt, mit Horner-Schema ist alles einfacher (und das Horner-Schema ist im wirklichen Leben als Ingenieur/Informatiker usw. relevant).   ─   mikn 02.12.2021 um 00:01

@cauchy: Und wenn ich hier lese "Danke! Ich wusste nicht, wie man Nullstellen errät.." dann ahne ich, es nimmt kein Ende.... wieder einer, der glaubt nun alle Nullstellen bestimmen zu können....   ─   mikn 02.12.2021 um 00:07

Über die Lehrpläne in der Schule müssen wir nicht diskutieren. Die Polynomdivision wird so verkauft wie du es sagst und das Horner-Schema nur in den seltensten Fällen erwähnt. Für die meisten ist diese Art der Mathematik im weiteren Leben aber nicht weiter relevant, weshalb es für den schulischen Bereich tatsächlich ausreicht, dass man Nullstellen eines Polynoms dritten Gerades per Hand (!) nur so bestimmen kann (wenn man nicht gerade die Lösungsformeln kann :D). Das ist allenfalls für den hilfsmittelfreien Teil in Klausuren von Bedeutung. Sonst gibt es ja den so tollen Taschenrechner, der das für einen übernehmen muss.   ─   cauchy 02.12.2021 um 00:09

@mikn: Darum schrieb ich "wenn es darum geht, eine Nullstelle zu raten" und nicht "eine Nullstelle zu berechnen". Aber ich sehe ein, mit diesem Hinweis sollte man wohl tatsächlich eher vorsichtig umgehen...   ─   cauchy 02.12.2021 um 00:11

Statt zu erraten, habe ich 'poly-solve' auf dem Taschenrechner genutzt, um die Nullstellen herauszufinden. Daraufhin dann die polynomdivision durchgeführt. Das mit dem erraten ist mir zu kompliziert   ─   user9ea049 02.12.2021 um 03:28

Dann kannst du auch gleich alle Nullstellen mit der Funktion poly-solve berechnen. Damit erübrigt sich dann auch deine Frage hier im Forum.

Allerdings bist du in Klausuren ohne Hilfsmittel aufgeschmissen, wenn du die Nullstellen bestimmen musst, da man sich dumm und dämlich raten kann. Daher ist es gut zu wissen, dass man die möglichen Nullstellen einschränken kann. Kompliziert ist daran allerdings nichts.
  ─   cauchy 02.12.2021 um 04:34

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