Mach doch einfach zwei Beweise. Einmal für gerade und einmal für ungerade n. Ich zeigt Dir das einmal für gerade n:
a) zeige, dass die Gleichung für n=2 gilt. Einfach zweimal ableiten!
b) Nimm' an, das \(f^{(n)}= n \cosh(x) +\sinh(x) \) gilt und leite das nun zweimal ab. Du müßtest \(f^{(n+2)}= (n+2) \cosh(x) +\sinh(x) \) erhalten. Damit ist dies bewiesen. Für ungerade geht das ganz analog. Du fängst jetzt mit n=1 an.
Hier noch ein Videotipp zum Thema "vollständige Indultion".

Du hast beim Ableiten von $f^{(n)} (x)$ nur bei $x\cdot \sinh(x)$ die Produktregel anzuwenden. Du verwendest aber auch noch bei $n\cdot \cosh(x)$ die Produktregel und leitest fälschlicherweise das $n$ ab. Es ist aber $\big{(}n\cosh(x)\big{)}'=n\sinh(x)$. Da liegt dein Denkfehler. Wenn du das korrigierst solltest du auch auf die richtige Ableitung kommen.